Algebra and number theory

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Векторные пространства. Определение и примеры векторных пространств. Система образующих, конечномерные пространства. Линейная независимость векторов. Теорема Штейница о замене. Базис, размерность. Координаты вектора, их изменение при изменении базиса. Матрица перехода от одного базиса к другому, преобразование координат вектора. Подпространство, его размерность. Ранг системы векторов. Ранг матрицы. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Прямая сумма подпространств.

Системы линейных уравнений.

Матричная запись линейной системы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. Однородные системы, условие существования нетривиального решения. Фундаментальная система решений. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Задание подпространства векторного пространства системой линейных уравнений.

Линейные отображения векторных пространств. Линейное отображение, его ядро и образ. Ранг и дефект. Алгебраические действия над линейными отображениями: сумма, умножение на константу, композиция. Линейный оператор и его матрица. Изменение матрицы оператора при переходе к другому базису. Матрица композиции и суммы линейных операторов. Пространство линейных операторов и его связь с пространством матриц. Условия обратимости оператора.

Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Нормальные формы матриц. Инвариантное подпространство. Сужение оператора на инвариантное подпространство. Матрица оператора при наличии инвариантного подпространства. Собственное число и собственный вектор оператора. Характеристический многочлен оператора и матрицы. Теорема Гамильтона–Кэли. Оператор, имеющий диагональную матрицу в некотором базисе; признак диагонализируемости. Жорданова матрица.

Vector spaces. Definition and examples of vector spaces. System of generators, finite-dimensional spaces. Linear independence of vectors. The Steinitz Theorem Basis, dimension. Vector coordinates, their change when the basis changes. Transition matrix from one basis to another, transformation of vector coordinates. Subspace, its dimension. Rank of the vector system. Matrix rank. The sum and intersection of subspaces, the connection of their dimensions. Direct sum of subspaces.

Systems of linear equations. Matrix notation of a linear system. Gauss method. Kronecker–Capelli theorem. Homogeneous systems, conditions for the existence of a nontrivial solution. Fundamental system of solutions. Relationship between solutions of inhomogeneous and corresponding homogeneous systems. “Defining a subspace of a vector space by a system of linear equations.

Linear mappings of vector spaces. Linear mapping, its kernel and image. Rank and defect. Algebraic operations on linear mappings: sum, multiplication by a constant, composition. Linear operator and its matrix.  Change of a matrix of a linear map with respect to the change of bases. The matrix of a composition and a sum of linear operators. The space of linear operators and its connection with the space of matrices. Conditions for invertibility of an operator.

Invariant subspaces. Eigenvectors and eigenvalues. Normal forms of matrices. Invariant subspace. Restriction of the operator to an invariant subspace. The matrix of an operator with an invariant subspace. Eigenvalue and eigenvector of the operator. Characteristic polynomial of an operator and matrix. Hamilton–Cayley theorem. An operator having a diagonal matrix in some basis; sign of diagonalizability. Jordan matrix.

Формируемые компетенции / The formed competences

Специализированная компетенция:

применять основные алгебраические, геометрические и топологические понятия, конструкции и методы для решения теоретических и прикладных математических задач.

Specialized competence:

apply basic algebraic, geometric and topological concepts, constructions and methods to solve theoretical and applied mathematical problems.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате освоения учебной дисциплины студент должен

знать:

• основные понятия и результаты линейной алгебры, теории билинейных и квадратичных форм, теории групп, колец и полей;
•  методы доказательств важнейших результатов, изучаемых в рамках учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел»;
•  алгоритмы решения задач по алгебре;

уметь:

•  выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра;
•  вычислять определители;
•  выполнять операции над матрицами;
•  решать системы линейных уравнений;
•  находить базис векторного пространства, суммы и пересечения подпространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и системы векторов;
•  находить собственные значения и собственные векторы матрицы и линейного оператора;

владеть:

•  основными навыками решения задач, связанных с линейной алгеброй, многочленами, комплексными числами;
•  методами доказательств основных теорем, встречающихся в курсе «Алгебра и теория чисел».
•  навыками самообразования и способами использования аппарата алгебры и теории чисел для проведения математических и междисциплинарных исследований.

As a result of mastering the academic discipline, the student must

know:

– basic concepts and results of linear algebra, the theory of bilinear and quadratic forms, the theory of groups, rings and fields;

– methods of proving the most important results studied within the academic discipline “Algebra and Number Theory”;

– algorithms for solving problems in algebra;

can:

– perform operations with complex numbers in algebraic and trigonometric form, extract roots from complex numbers, apply Moivre’s formula;

– calculate determinants;

– perform operations on matrices;

– solve systems of linear equations;

– find the basis of a vector space, sums and intersections of subspaces, vector coordinates in a given basis, find the rank of a matrix and a system of vectors;

– find eigenvalues ​​and eigenvectors of the matrix and linear operator;

be able to apply:

– basic problem solving skills involving linear algebra, polynomials, complex numbers;

– methods of proof of the main theorems found in the course “Algebra and Number Theory”.

– self-education skills and ways to use the apparatus of algebra and number theory to conduct mathematical and interdisciplinary research.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

2

2

Пререквизиты / Prerequisites

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3 зачетные единицы.

3 credit units.

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

Всего 116 часов, из них 68 аудиторных часа и 48 часа самостоятельной работы.

A total of 116 hours, of which 68 academic hours of students’ class work and 48 hours of self-directed learning.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Устный опрос, контрольная работа, коллоквиум.

Зачет. Экзамен.

Oral survey, verification work, colloquium.

End-of-term tests. Exam.