Дифференциальные уравнения

1	Название дисциплины	Дифференциальные уравнения
2	Курс обучения, специальность	2 1-31 03 09 Компьютерная математика и системный анализ
3	Семестр обучения	4
4	Количество кредитов	4
5	ФИО лектора	Профессор Громак В.И., д.ф.-м.н.
6	Цели изучения дисциплины	Формирование у студентов навыков и умений проведения математических исследований на основе теории дифференциальных уравнений, обучению основным аналитическим, качественным и асимптотическим методам теории дифференциальных уравнений, построению и анализу основных математических моделей на основе теории дифференциальных уравнений. В результате обучения студент должен знать: – основные понятия и методы общей теорий линейных дифференциальных уравнений, теоремы существования и единственности; – основные методы интегрирования линейных дифференциальных уравнений и систем, метод Эйлера, метод исключения, матричный метод; – постановку задачи Коши и краевых задач; – основные понятия и методы теории устойчивости по Ляпунову. уметь: – применять методы общей теорий линейных дифференциальных уравнений для решения основных типов линейных дифференциальных уравнений и систем; – ставить начальные и краевые задачи, решать вопросы существования и единственности решения начальных и краевых задач – строить фазовые портреты простейших автономных систем на плоскости. – применять основные теоремы второго метода Ляпунова для решения вопросов устойчивости движения.
7	Пререквизиты	Материалы курсов 1-3 семестров: «Алгебра и теория чисел», «Геометрия», «Математический анализ». «Дифференциальные уравнения»
8	Содержание дисциплины	Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений линейных однородных дифференциальные уравнений n-го порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского – Лиувилля. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Метод Коши. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Линейные уравнения второго порядка и колебательные явления. Теоремы Штурма о нулях решений. Понятие о краевых задачах. Линейные дифференциальные уравнения с голоморфными коэффициентами. Обобщённые степенные ряды. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи степенных и обобщённых степенных рядов. Уравнение Эйри и Бесселя. Функции Бесселя. Линейные дифференциальные системы. Свойства решений Линейная независимость вектор-функций. Формула Остроградского-Лиувилля. Фундаментальная система решений. Фундаментальная матрица. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных систем. Экспоненциальная функция матричного аргумента. Теорема Лаппо-Данилевского. Матричный метод интегрирования линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Структура фундаментальной матрицы. Метод Эйлера. Линейные системы с периодическими коэффициентами. Приводимые системы. Решение неоднородной системы с правой частью специального вида. Автономные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы. Фазовые портреты линейной автономной системы двух уравнений. Особые точки: узел, седло, фокус, центр. Понятие предельного цикла. Проблема центра и фокуса. Устойчивость по Ляпунову решений дифференциальных уравнений. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Критерий асимптотической устойчивости нулевого решения линейных автономных систем и уравнения n-го порядка. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
9	Рекомендуемая литература	Основная: 1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения, Минск, БГУ, 2012. 2. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: «Высшая школа», 1991. 3. Федорюк М.В. Обыкновенных дифференциальные уравнения. СПб.; Издательство «Лань», 2003. 4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва «Наука», 1992. Дополнительная: 1. Богданов Ю.С., Мазаник С.А., Сыроид Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений. Минск: «Университетское», 1996. 2. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: «Наук»,1972. 3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва: Физматгиз, 1959.
10	Методы преподавания	Лекционный с практическими занятиями, использованием элементов дистанционного обучения и электронных материалов.
11	Язык обучения	Русский
12	Условия(требования), текущий контроль	Контрольные работы, тесты. Оценка на экзамене выставляется с учетом: текущей оценки – 40%, устного ответа на экзамене – 60%.
13	Форма текущей аттестации	Зачет, экзамен