Algebra and number theory

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Билинейные и квадратичные формы.

Билинейная форма на векторном пространстве, ее матрица. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса, ранг формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы, их матрицы. Квадратичная форма и ее матрица, существование и единственность полярной билинейной формы. Канонический вид билинейной и квадратичной формы. Алгоритм Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид вещественной и комплексной квадратичных форм. Закон инерции вещественных квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Евклидовы пространства.

Определение евклидова пространства. Длина вектора, угол между векторами. Неравенство Коши–Буняковского. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональное дополнение к подпространству. Разложение пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора, расстояние от вектора до подпространства.

Линейные операторы евклидовых пространств.

Сопряженный оператор, его существование и свойства. Инвариантные подпространства для сопряженных операторов. Ортогональные операторы, их свойства. Критерий ортогональности оператора. Разложение пространства в прямую сумму 1- и 2-мерных попарно ортогональных инвариантных относительно ортогонального оператора подпространств. Канонический вид  матрицы ортогонального оператора. Самосопряженные операторы, их свойства. Канонический вид матрицы самосопряженного оператора. Существование ортогонального преобразования, приводящего вещественную квадратичную форму к диагональному виду.

Введение в теорию групп.

Определение группы, подгруппы, примеры. Гомоморфизм, изоморфизм, автоморфизм. Порядок элемента группы. Циклические подгруппы. Циклические группы, их классификация. Смежные классы по подгруппе, индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Основная теорема о гомоморфизмах групп. Прямое произведение групп.

Введение в теорию колец и полей.

Определение кольца, подкольца, поля, подполя, примеры. Гомоморфизм, изоморфизм колец, ядро гомоморфизма. Идеалы колец. Факторкольца. Основная теорема о гомоморфизмах для колец. Прямое произведение колец. Характеристика поля. Простые поля. Степень расширения полей, конечные расширения. Мультипликативность степени. Алгебраические и трансцендентные элементы. Простые расширения полей. Алгебраически замкнутые поля, алгебраическое замыкание. Конечные поля. Число элементов в конечном поле. 

Bilinear and quadratic forms. Bilinear form on a vector space, its matrix. Changes in the matrix of a bilinear form when the basis changes, the rank of the form. Symmetric and skew-symmetric bilinear forms, their matrices. Quadratic form and its matrix, existence and uniqueness of polar bilinear form. Canonical form of bilinear and quadratic forms. Lagrange’s algorithm for reducing a quadratic form to canonical form. Normal form of real and complex quadratic forms. Law of inertia for real quadratic forms. Definite quadratic forms, Sylvester criterion.

Euclidean spaces. Definition of Euclidean space. Vector length, angle between vectors. Cauchy–Bunyakovsky inequality. Orthogonal vectors. Orthogonal and orthonormal bases. Gram–Schmidt orthogonalization process. Orthogonal complement to a subspace. Decomposition of a space into the direct sum of a subspace and its orthogonal complement. Orthogonal projection and orthogonal component of a vector, distance from a vector to a subspace.

Linear operators of Euclidean spaces.

Conjugate operator, its existence and properties. Invariant subspaces for conjugate operators. Orthogonal operators, their properties. Criterion of orthogonality. Decomposition of space into a direct sum of 1- and 2-dimensional pairwise orthogonal subspaces invariant under the orthogonal operator. Canonical form of the matrix of the orthogonal operator. Self-adjoint operators, their properties. Canonical form of the matrix of a self-adjoint operator. The existence of an orthogonal transformation that reduces a real quadratic form to a diagonal form.

Introduction to group theory. Definition of a group, subgroup, examples. Homomorphism, isomorphism, automorphism.  Order of an element. Cyclic subgroups. Cyclic groups, their classification.  Cosets of a group by a subgroup, subgroup index. Lagrange’s theorem and corollaries from it. Normal subgroup. Factor group. The main theorem on group homomorphisms. Direct product of groups.

Introduction to the theory of rings and fields. Definition of a ring, subring, field, subfield, examples. Homomorphism, ring isomorphism, kernel. Ideals of rings. Factor rings. The main theorem on homomorphisms for rings. Direct product of rings. Field characteristics. Simple fields. Degree of field extension, finite extension. Multiplicativity of the degree. Algebraic and transcendental elements. Simple field extensions. Algebraically closed fields, algebraic closure. Finite fields. The number of elements in a finite field.

Формируемые компетенции / The formed competences

Специализированная компетенция:

применять основные алгебраические, геометрические и топологические понятия, конструкции и методы для решения теоретических и прикладных математических задач.

Specialized competence:

apply basic algebraic, geometric and topological concepts, constructions and methods to solve theoretical and applied mathematical problems.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате освоения учебной дисциплины студент должен

знать:

• основные понятия и результаты линейной алгебры, теории билинейных и квадратичных форм, теории групп, колец и полей;
•  методы доказательств важнейших результатов, изучаемых в рамках учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел»;
•  алгоритмы решения задач по алгебре;

уметь:

•  выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра;
•  вычислять определители;
•  выполнять операции над матрицами;
•  решать системы линейных уравнений;
•  находить базис векторного пространства, суммы и пересечения подпространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и системы векторов;
•  находить собственные значения и собственные векторы матрицы и линейного оператора;
•  приводить квадратичную форму к каноническому виду;
•  приводить ортогональный оператор к каноническому виду;
•  находить ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству;
•  определять, является ли данное подмножество подгруппой в группе, подкольцом или идеалом в кольце, подполем в поле;
•  производить вычисления в факторгруппе, факторкольце;

владеть:

•  основными навыками решения задач, связанных с линейной алгеброй, многочленами, комплексными числами, квадратичными и билинейными формами, группами, кольцами и полями;
•  методами доказательств основных теорем, встречающихся в курсе «Алгебра и теория чисел».
•  навыками самообразования и способами использования аппарата алгебры и теории чисел для проведения математических и междисциплинарных исследований.

As a result of mastering the academic discipline, the student must

know:

– basic concepts and results of linear algebra, the theory of bilinear and quadratic forms, the theory of groups, rings and fields;

– methods of proving the most important results studied within the academic discipline “Algebra and Number Theory”;

– algorithms for solving problems in algebra;

can:

– perform operations with complex numbers in algebraic and trigonometric form, extract roots from complex numbers, apply Moivre’s formula;

– calculate determinants;

– perform operations on matrices;

– solve systems of linear equations;

– find the basis of a vector space, sums and intersections of subspaces, vector coordinates in a given basis, find the rank of a matrix and a system of vectors;

– find eigenvalues ​​and eigenvectors of the matrix and linear operator;

– bring the quadratic form to the canonical form;

– bring the orthogonal operator to canonical form;

– find an orthonormal basis, an orthogonal complement to a subspace;

– determine whether a given subset is a subgroup in a group, a subring or an ideal in a ring, a subfield in a field;

– perform calculations in a factor group, factor ring;

be able to apply:

– basic problem solving skills involving linear algebra, polynomials, complex numbers, quadratic and bilinear forms, groups, rings and fields;

– methods of proof of the main theorems found in the course “Algebra and Number Theory”.

– self-education skills and ways to use the apparatus of algebra and number theory to conduct mathematical and interdisciplinary research.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

3

3

Пререквизиты / Prerequisites

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3 зачетные единицы.

3 credit units.

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

Всего 108 часов, из них 72 аудиторных часа и 36 часов самостоятельной работы.

A total of 108 hours, of which 72 academic hours of students’ class work and 36 hours of self-directed learning.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Устный опрос, контрольная работа, коллоквиум.

Экзамен.

Oral survey, verification work, colloquium.

Exam.