Geometry

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Первый семестр (рассмотрение ведется в рамках аксиоматики трехмерного евклидова пространства)

• Определяется понятие геометрического вектора, как класса эквивалентных направленных отрезков. Излагается векторная алгебра, используемая в дальнейшем как основа координатного метода;
• Вводятся понятия «координат точки» и «уравнение фигуры». С помощью координатного метода изучаются прямые, плоскости и фигуры второго порядка на плоскости и в пространстве .

Второй семестр

• Вводится понятие многомерного аффинного пространства . Разрабатывается методика применения координатного метода для изучения фигур в ;
• Изучаются -мерные плоскости и фигуры второго порядка в ;
• Определяются понятия аффинного преобразования аффинного пространства и группы аффинных преобразований. Изучаются свойства фигур, инвариантные относительно действия аффинных преобразований;
• Вводится понятие -мерного точечного евклидова пространства . Обсуждаются возникающие понятия «расстояние между точками», «расстояние от точки до -мерной плоскости», «ортогональные плоскости», «проекция точки на -мерную плоскость»;
• Дается классификация движений точечной евклидовой плоскости. Рассматриваются некоторые примеры аффинных преобразований пространства (подобие, гомотетия, сдвиг);
• Вводится определение кривой в , понятие длины дуги кривой, кривизны и кручения кривой. Даются вычислительные формулы;
• Определяется понятие поверхности в , формулы для вычисления длины дуги кривой и угла между кривыми на поверхности.

First semester (discussion is carried out within the framework of the axiomatic of three-dimensional Euclidean space)

• The concept of a geometric vector as a class of equivalent directed segments is defined. Vector algebra that will be used later as the basis of the coordinate method is presented.
• The concepts of “point coordinates” and “figure equation” are introduced. Using the coordinate method straight lines, planes and second-order figures on the plane and in space are studied.

Second semester

• The concept of multidimensional affine space is introduced. A methodology for using the coordinate method to study figures is being developed in;
• k-dimensional planes and second-order figures are studied in ;
• The concepts of an affine transformation of an affine space and a group of affine transformations is defined. Properties of figures that are invariant under the action of affine transformations are studied;
• The concept of n-dimensional point Euclidean space is introduced. The emerging concepts of “distance between points”, “distance from a point to an k-dimensional plane”, “orthogonal planes”, «projection of a point onto an k-dimensional plane» are discussed;
• A classification of the movements of a point Euclidean plane is given. Some examples of affine space transformations (similarity, homothety, shift) are considered;
• The definition of a curve in , the concept of arc length of a curve, curvature and torsion of a curve are introduced. Сomputational formulas are given;
• The concept of a surface in , formulas for calculating the arc length of a curve and the angle between curves on a surface are defined.

Формируемые компетенции / The formed competences

Применять основные алгебраические и геометрические понятия, конструкции и методы при решении теоретических и прикладных математических задач.

Apply basic algebraic and geometric concepts, constructions and methods in solving theoretical and applied mathematical problems.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате изучения дисциплины студент должен 

знать:

• векторы в , операции над векторами;
• канонические уравнения и свойства эллипсов, гипербол, парабол, эллипсоидов, гиперболоидов, параболоидов;
• понятия n-мерного аффинного и евклидова пространств; аффинные реперы и координаты точек; -мерные плоскости и фигуры второго порядка, группы геометрических преобразований;
• понятия кривой и поверхности в

уметь:

• выполнять операции над векторами; записывать общие и параметрические уравнения плоскостей в различных пространствах, определять их взаимное расположение; находить расстояния между плоскостями;
• по общему уравнению фигуры второго порядка в определять ее тип, размеры, расположение относительно системы координат; приводить общее уравнение фигуры второго порядка в аффинном пространстве к нормальному виду;
• находить длину дуги, кривизну и кручение кривой, длину дуги кривой и угол между кривыми на поверхности;

владеть:

• методом координат при решении основных геометрических задач.

As a result of studying the discipline, the student must

know:

– vectors in , operations on vectors;

– canonical equations and properties of ellipses, hyperbolas, parabolas, ellipsoids, hyperboloids, paraboloids;

– concepts of n-dimensional affine and Euclidean spaces; affine benchmarks and point coordinates; k -dimensional planes and figures of the second order, groups of geometric transformations;

– concepts of curve and surface in

design:

– perform operations on vectors; write down general and parametric equations of planes in various spaces, determine their relative positions; find the distances between planes;

– using the general equation of a second-order figure, determine its type, size, location relative to the coordinate system; reduce the general equation of a second-order figure in an affine space to normal form;

– find the length of the arc, the curvature and torsion of the curve, the length of the arc of the curve and the angle between the curves on the surface;

own:

– the coordinate method when solving basic geometric problems

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

1, 2

1, 2

Пререквизиты / Prerequisites

Планиметрия, стереометрия

Planimetry,  stereometry

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

6 зачетных единиц

6 credit units

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

222 часа, в том числе 140 аудиторных часов, из них: 

в 1 семестре – 72 аудиторных часа, из них: лекции – 36 часов, лабораторные занятия – 30 часов, управляемая самостоятельная работа – 6 часов;

во 2 семестре – 68 аудиторных часов, из них: лекции – 34 часа, лабораторные занятия – 30 часов, управляемая самостоятельная работа – 4 часа.

222 hours, including 140 classroom hours, of which:

in the 1st semester – 72 classroom hours, of which: lectures – 36 hours, laboratory classes – 30 hours, guided independent work – 6 hours;

in the 2nd semester – 68 classroom hours, of which: lectures – 34 hours, laboratory classes – 30 hours, guided independent work – 4 hours.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

экзамен в 1 и 2 семестрах,

2 контрольные работы в каждом семестре,

2 tests in each semester,

exam in 1st and 2nd semesters