Differential geometry and topology

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Первоначальные сведения о метрических пространствах.

Определение и примеры метрических пространств. Топология метрического пространства. Подпространство метрического пространства. Изометрия и изометрическое вложение.

Первоначальные сведения о топологических пространствах.

Определение и примеры топологических пространств. Метризуемые и неметризуемые пространства. Замкнутые множества. Подпространства. Хаусдорфовы пространства. Сходимость последовательностей в топологических пространствах.

Геометрия топологического пространства.

Замыкание, внутренность и граница множеств в топологических пространствах.

Основные свойства непрерывных отображений.

Понятие непрерывного отображения. Примеры. Критерии непрерывности. Операции над непрерывными функциями. Секвенциальная непрерывность.

Гомеоморфизмы.

Понятие гомеоморфизма. Примеры гомеоморфных пространств.

Связность.

Определение и примеры связных и несвязных пространств и их простейшие свойства. Связность и непрерывные отображения. Линейно связные пространства. Связные компоненты.

Компактность.

Определение и примеры компактных пространств и их простейшие свойства. Компактность и непрерывные отображения. 

Полные и вполне ограниченные метрические пространства.

Определение и примеры полных метрических пространств. Свойства полных пространств. Вполне ограниченные метрические пространства и их простейшие свойства.

Компактные метризуемые пространства.

Основные критерии компактности метризуемых пространств.

Аксиомы счётности и сепарабельность.

Понятие базы и фундаментальной системы окрестностей топологического пространства. Первая и вторая аксиомы счётности. Всюду плотные множества в топологических пространствах. Сепарабельность. Связь между сепарабельностью и второй аксиомой счётности.

Методы введения топологий.

Методы введения топологий. Примеры, иллюстрирующие связь между аксиомами счётности и сепарабельностью.

Произведения топологических пространств.

Произведения топологических пространств и их простейшие свойства. Непрерывность отображения в произведение.

Фактор-пространства.

Фактор-пространства и факторные отображения. Примеры.

Линии и способы их задания. Касательная к линии.

Параметризованные кривые в Е3 и вектор-функции одной переменной. Понятие линии. Примеры и способы задания линий. Касательная к линии.

Длина дуги. Натуральная параметризация.

Длина дуги линии. Натуральная параметризация. Касательная к линии как наиболее тесно прилегающая к ней прямая. 

Кривизна линии.

Кривизна линии и формула для её вычисления. Механический смысл кривизны. Условие бирегулярности и его геометрический смысл.

Репер Френе.

Репер Френе бирегулярной линии. Координатные прямые и плоскости репера Френе. Свойства соприкасающейся плоскости.

Формулы Френе. Кручение.

Формулы Френе. Кручение, его механический смысл и формула для его вычисления. Натуральные уравнения.

Поверхности и способы их задания.

Вектор-функции двух переменных. Поверхности и способы их задания. Линии на поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 

Касательное пространство и касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление дуги линии на поверхности и величины угла между линиями. Площадь поверхности. 

Вторая квадратичная форма поверхности. Главные кривизны и типы точек на поверхности.

Ориентация поверхности. Нормальная кривизна линии на ориентированной поверхности и вторая квадратичная форма поверхности. Главные кривизны и главные направления поверхности. Полная и средняя кривизна. Типы точек на поверхности. 

Внутренняя геометрия поверхностей.

Понятие геодезической на поверхности. Дифференциальные уравнения геодезических. Существование и единственность максимальной геодезической, проходящей через данную точку в данном направлении. Геодезические как локально кратчайшие. Изометрические отображения поверхностей. Теорема Гаусса.

Initial information about metric spaces.

Definition and examples of metric spaces. Topology of metric space. Subspace of metric space. Isometry and isometric embedding.

Initial information about topological spaces.

Definition and examples of topological spaces. Metrizable and non-metrizable spaces. Closed sets. Subspaces. Hausdorff spaces. Convergence of sequences in topological spaces.

Geometry of topological space.

Closure, interior and boundary of sets in topological spaces.

Basic properties of continuous mappings.

The concept of continuous mapping. Examples. Continuity criteria. Operations on continuous functions. Sequential continuity.

Homeomorphisms.

The concept of homeomorphism. Examples of homeomorphic spaces.

Connectivity.

Definition and examples of connected and disconnected spaces and their simplest properties. Connectivity and continuous mappings. Linearly connected spaces. Connected components.

Compactness.

Definition and examples of compact spaces and their simplest properties. Compact and continuous displays.

Complete and completely bounded metric spaces.

Definition and examples of complete metric spaces. Properties of complete spaces. Completely bounded metric spaces and their simplest properties.

Compact metrizable spaces.

Basic criteria for the compactness of metrizable spaces.

Axioms of countability and separability.

The concept of a base and a fundamental system of neighborhoods of a topological space. The first and second axioms of countability. Everywhere dense sets in topological spaces. Separability. The connection between separability and the second axiom of countability.

Methods for introducing topologies.

Methods for introducing topologies. Examples illustrating the connection between the axioms of countability and separability.

Products of topological spaces.

Products of topological spaces and their simplest properties. Continuity of mapping into a work.

Factor-space.

Factor spaces and factor mappings. Examples.

Lines and ways to set them. Tangent to the line.

Parameterized curves in Е3 and vector functions of one variable. Concept of line. Examples and methods of defining lines. Tangent to the line.

Arc length. Natural parameterization.

Line arc length. Natural parameterization. A tangent to a line is the line closest to it.

Line curvature.

The curvature of a line and the formula for calculating it. Mechanical meaning of curvature. The biregularity condition and its geometric meaning.

Frenet basis.

Frenet basis of a biregular line. Coordinate lines and Frenet f basis planes. Properties of an osculating plane.

Frenet formulas. Torsion.

Frenet formulas. Torsion, its mechanical meaning and formula for its calculations. Natural equations.

Surfaces and methods for defining them.

Vector functions of two variables. Surfaces and methods for defining them. Lines on the surface.

Tangent plane and normal to the surface. 

Tangent space and tangent plane to a surface. Normal to the surface.

First fundamental form of the surface.

First fundamental form of the surface. Calculation of the arc of a line on a surface and the angle between the lines. Surface area. 

Second fundamental form of the surface. Principal curvatures and types of points on a surface. Surface orientation. Normal curvature of a line on an oriented surface and the second quadratic form of the surface. Principal curvatures and principal directions of a surface. Full and medium curvature. Types of points on the surface.

Internal geometry of surfaces.

The concept of a geodesic on a surface. Differential equations of geodesics. Existence and uniqueness of a maximal geodesic passing through a given point in a given direction. Geodesics as locally shortest paths. Isometric displays of surfaces. Gauss’s theorem.

Формируемые компетенции / The formed competences

базовые профессиональные компетенции: применять основные алгебраические и геометрические понятия, конструкции и методы при решении теоретических и прикладных математических задач. 

специализированные компетенции: применять основные алгоритмы компьютерной геометрии и современные математические средства визуализации изображений и анимации.

basic professional competencies: apply basic algebraic and geometric concepts, constructions and methods in solving theoretical and applied mathematical problems.

specialized competencies: apply basic computer geometry algorithms and modern mathematical tools for image visualization and animation.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате изучения дисциплины студент должен 

знать:

• понятия метрического и топологического пространств;
• свойства непрерывных отображений метрических и топологических пространств, свойства связных и компактных пространств;
• понятия линии и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве и их характеристики;

уметь:

• находить замыкание, внутренность и границу множеств в метрических и топологических пространствах, определять, является ли пространство связным, компактным, сепарабельным;
• вычислять кривизну и кручение линии, использовать понятия первой и второй квадратичных форм для исследования поверхности;

владеть:

• методами общей топологии и дифференциальной геометрии при решении геометрических задач.

As a result of studying the discipline, the student must

know:

– concepts of metric and topological spaces;

– properties of continuous mappings of metric and topological spaces, properties of connected and compact spaces;

– concepts of line and surface in three-dimensional Euclidean space and their characteristics;

be able to:

• •  find the closure, interior and boundary of sets in metric and topological spaces, determine whether the space is connected, compact, separable;
• calculate the curvature and torsion of a line, use the concepts of the first and second fundamental forms to study the surface;

master:

– methods of general topology and differential geometry when solving geometric problems.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

3,4,5

3,4,5

Пререквизиты / Prerequisites

— Введение в специальность

 —  Геометрия

 — Математический анализ

 — Алгебра и теория чисел

— Introduction to the specialty

 — Geometry

 — Mathematical analysis

 — Algebra and number theory

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

8 зачетных единиц.

8 credit units.

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

Всего 294 часа, из них 142 аудиторных часа и 152 часа самостоятельной работы.

A total of 294 hours, of which 142 classroom hours and 152 hours of independent work.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Устный опрос. Отчет по индивидуальным заданиям. Контрольные работы. Зачет. Экзамен.

Oral questioning. Report on individual assignments. Test. Credit. Exam.