Differential geometry and topology

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Метрические и топологические пространства и их геометрия.

Понятие метрического пространства. Топология метрического пространства. Топологические пространства. Подпространства метрических и топологических пространств. Замкнутые множества. Замыкание, внутренность и граница множеств.

Непрерывные отображения.

Понятие непрерывного отображения. Непрерывность композиции. Критерии непрерывности. Гомеоморфизмы.

Связность и компактность.

Связные пространства. Сохранение связности непрерывными отображениями. Теорема о промежуточных значениях. Линейно связные пространства. Компактные пространства. Критерий компактности в n. Сохранение компактности непрерывными отображениями. Обобщение теоремы Вейерштрасса

Линии и способы их задания. Касательная к линии.

Параметризованные кривые в Е3 и вектор-функции одной переменной. Понятие линии. Примеры и способы задания линий. Касательная к линии.

Длина дуги. Натуральная параметризация.

Длина дуги линии. Натуральная параметризация. Касательная к линии как наиболее тесно прилегающая к ней прямая. 

Кривизна линии.

Кривизна линии и формула для её вычисления. Механический смысл кривизны. Условие бирегулярности и его геометрический смысл.

Репер Френе.

Репер Френе бирегулярной линии. Координатные прямые и плоскости репера Френе. Свойства соприкасающейся плоскости.

Формулы Френе. Кручение.

Формулы Френе. Кручение, его механический смысл и формула для его вычисления. 

Поверхности и способы их задания.

Вектор-функции двух переменных. Поверхности и способы их задания. Линии на поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 

Касательное пространство и касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление дуги линии на поверхности и величины угла между линиями. 

Вторая квадратичная форма поверхности. Главные кривизны и типы точек на поверхности.

Ориентация поверхности. Нормальная кривизна линии на ориентированной поверхности и вторая квадратичная форма поверхности. Главные кривизны и главные направления поверхности. Полная и средняя кривизна. Типы точек на поверхности. 

Metric and topological spaces and their geometry.

The concept of metric space. Topology of metric space. Topological spaces. Subspaces of metric and topological spaces. Closed sets. Closure, interior and boundary of sets.

Continuous maps.

The concept of continuous mapping. Continuity of composition. Continuity criteria. Homeomorphisms.

Connectivity and compactness.

Connected spaces. Preservation of connectivity by continuous mappings. Intermediate value theorem. Linearly connected spaces. Compact spaces. Compactness criterion in n. Preserving compactness by continuous mappings. Generalization of Weierstrass’s theorem

Lines and ways to set them. Tangent to the line.

Parameterized curves in Е3 and vector functions of one variable. Concept of line. Examples and methods of defining lines. Tangent to the line.

Arc length. Natural parameterization.

Line arc length. Natural parameterization. A tangent to a line is the line closest to it.

Line curvature.

The curvature of a line and the formula for calculating it. Mechanical meaning of curvature. The biregularity condition and its geometric meaning.

Frenet basis.

Frenet basis of a biregular line. Coordinate lines and Frenet f basis planes. Properties of an osculating plane.

Frenet formulas. Torsion.

Frenet formulas. Torsion, its mechanical meaning and formula for its calculations. 

Surfaces and methods for defining them.

Vector functions of two variables. Surfaces and methods for defining them. Lines on the surface.

Tangent plane and normal to the surface. 

Tangent space and tangent plane to a surface. Normal to the surface.

First fundamental form of the surface.

First fundamental form of the surface. Calculation of the arc of a line on a surface and the angle between the lines. 

Second fundamental form of the surface. Principal curvatures and types of points on a surface. Surface orientation. Normal curvature of a line on an oriented surface and the second quadratic form of the surface. Principal curvatures and principal directions of a surface. Full and medium curvature. Types of points on the surface.

Формируемые компетенции / The formed competences

Специализированные компетенции: Применять основные алгебраические, геометрические и топологические понятия, конструкции и методы для решения теоретических и прикладных математических задач

Specialized competencies: apply basic algebraic, geometric and topological concepts, structures and methods to solve theoretical and applied mathematical problems.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате изучения дисциплины студент должен 

знать:

• понятия метрического и топологического пространств;
• свойства непрерывных отображений метрических и топологических пространств, свойства связных и компактных пространств;
• понятия линии и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве и их характеристики;

уметь:

• находить замыкание, внутренность и границу множеств в метрических и топологических пространствах, определять, является ли пространство связным или компактным;
• вычислять кривизну и кручение линии, использовать понятия первой и второй квадратичных форм для исследования поверхности;

владеть:

• методами общей топологии и дифференциальной геометрии при решении геометрических задач.

As a result of studying the discipline, the student must

know:

– concepts of metric and topological spaces;

– properties of continuous mappings of metric and topological spaces, properties of connected and compact spaces;

– concepts of line and surface in three-dimensional Euclidean space and their characteristics;

be able to:

• •  find the closure, interior and boundary of sets in metric and topological spaces, determine whether the space is connected or compact;
• calculate the curvature and torsion of a line, use the concepts of the first and second fundamental forms to study the surface;

master:

– methods of general topology and differential geometry when solving geometric problems.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

3

3

Пререквизиты / Prerequisites

 — Аналитическая геометрия

 — Математический анализ

 — Алгебра и теория чисел

 — Analytic geometry

 — Mathematical analysis

 — Algebra and number theory

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

Всего 108 часов, из них 54 аудиторных часа и 54 часа самостоятельной работы.

A total of 108 hours, of which 54 classroom hours and 54 hours of independent work.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Устный опрос. Отчет по индивидуальным заданиям. Контрольные работы. Зачет. 

Oral questioning. Report on individual assignments. Test. Credit.