Differential geometry and tensor analysis

Специальность / Speciality: 1-31 03 02 Механика и математическое моделирование / Mechanics and mathematical modeling

Учебная дисциплина, модуль / Academic discipline, module: Дифференциальная геометрия и тензорный анализ, модуль «Математические методы» / Differential geometry and tensor analysis, module «Mathematical methods»

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary	Раздел 1. Линии в Е3 Тема 1.1. Линии и способы их задания. Касательная к линии. Параметризованные кривые в Е3 и вектор-функции одной переменной. Кривые как класс эквивалентных параметризованных кривых. Понятие линии. Примеры и способы задания линий. Касательная к линии. Тема 1.2. Длина дуги. Натуральная параметризация. Длина дуги линии. Натуральная параметризация. Касательная к линии как наиболее тесно прилегающая к ней прямая. Условие бирегулярности, соприкасающаяся плоскость линии. Тема 1.3. Кривизна линии. Кривизна линии и формула для её вычисления. Механический смысл кривизны. Тема 1.4. Репер Френе. Репер Френе бирегулярной линии. Координатные прямые и плоскости репера Френе. Свойства соприкасающейся плоскости. Тема 1.5. Формулы Френе. Кручение. Формулы Френе. Кручение, его механический смысл и формула для его вычисления. Натуральные уравнения простой бирегулярной линии. Раздел 2. Поверхности в Е3 Тема 2.1. Поверхности и способы их задания. Вектор-функции двух переменных. Параметризованные поверхности. Поверхности и способы их задания. Линии на поверхности. Тема 2.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Касательное пространство и касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности. Тема 2.3. Первая квадратичная форма поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление длины дуги линии на поверхности и величины угла между линиями. Площадь поверхности. Понятие об изометричных поверхностях. Тема 2.4. Гладкие отображения поверхностей. Основной оператор. Гладкие отображения поверхностей, дифференциал (производное отображение). Ориентация поверхности. Сферическое отображение поверхности, основной оператор. Матрица основного оператора. Тема 2.5. Вторая квадратичная форма поверхности. Главные кривизны и типы точек на поверхности. Нормальная кривизна линии на ориентированной поверхности и вторая квадратичная форма поверхности. Главные кривизны и главные направления на поверхности. Полная и средняя кривизны. Типы точек на поверхности. Тема 2.6. Геодезические на поверхности. Понятие геодезической на поверхности. Дифференциальные уравнения геодезических. Существование и единственность максимальной геодезической, проходящей через данную точку в данном направлении. Геодезические как локально кратчайшие. Раздел 3. Тензоры и тензорная алгебра Тема 3.1. Сопряженное пространство. Векторы и ковекторы. Сопряженное пространство. Сопряженные базисы. Тема 3.2. Тензорная алгебра. Тензоры произвольного типа. Операции над тензорами. Тензорная алгебра. Примеры тензоров.	Section 1. Lines in E3 Topic 1.1. Lines and ways to set them. Tangent to the line. Parameterized curves in E3 and vector functions of one variable. Curves as a class of equivalent parameterized curves. Concept of line. Examples and methods of defining lines. Tangent to the line. Topic 1.2. Arc length. Natural parameterization. Line arc length. Natural parameterization. A tangent to a line is the line closest to it. Biregularity condition, osculating plane of a line. Topic 1.3. Line curvature. The curvature of a line and the formula for calculating it. Mechanical meaning of curvature. Topic 1.4. Rapper Frenet. Frenet benchmark of a biregular line. Coordinate lines and Frenet reference planes. Properties of an osculating plane. Topic 1.5. Frenet’s formulas. Torsion. Frenet’s formulas. Torsion, its mechanical meaning and the formula for calculating it. Natural equations of a simple biregular line. Section 2. Surfaces in E3 Topic 2.1. Surfaces and methods for defining them. Vector functions of two variables. Parameterized surfaces. Surfaces and methods for defining them. Lines on the surface. Topic 2.2. Tangent plane and normal to the surface. Tangent space and tangent plane to a surface. Normal to the surface. Topic 2.3. The first quadratic form of the surface. The first quadratic form of the surface. Calculation of the arc length of a line on a surface and the angle between the lines. Surface area. The concept of isometric surfaces. Topic 2.4. Smooth surface displays. Main operator. Smooth surface mappings, differential (derived mapping). Surface orientation. Spherical surface mapping, basic operator. Main operator matrix. Topic 2.5. Second quadratic form of the surface. Principal curvatures and types of points on a surface. Normal curvature of a line on an oriented surface and the second quadratic form of the surface. Principal curvatures and principal directions on a surface. Full and average curvature. Types of points on the surface. Topic 2.6. Geodesics on the surface. The concept of a geodesic on a surface. Differential equations of geodesics. Existence and uniqueness of a maximal geodesic passing through a given point in a given direction. Geodesics as locally shortest paths. Section 3. Tensors and tensor algebra Topic 3.1. Conjugate space. Vectors and covectors. Conjugate space. Conjugate bases. Topic 3.2. Tensor algebra. Tensors of arbitrary type. Operations on tensors. Tensor algebra. Examples of tensors.
Требование к компетенциям / Competency requirements	Преподавание дисциплины «Дифференциальная геометрия и тензорный анализ» для студентов специальности 1-31 03 02 Механика и математическое моделирование должно обеспечить формирование следующей специализированной компетенции: СК – 4. Применять математический аппарат при исследовании задач механики.	Teaching the discipline “Differential geometry and tensor analysis” for students of specialty 1-31 03 02 Mechanics and mathematical modeling should ensure the formation of the following specialized competence: SK – 4. Apply mathematical apparatus in the study of problems in mechanics.
Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)	В соответствии с образовательным стандартом в результате изучения дисциплины обучающийся должен: знать: понятия линии и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве и их характеристики; основные сведения о тензорах и тензорной алгебре. уметь: приводить примеры линий и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве; вычислять кривизну и кручение линии, использовать понятия первой и второй квадратичных форм для исследования поверхности; предъявлять примеры тензоров в дифференциальной геометрии и алгебре. владеть: методами дифференциальной геометрии и теории тензоров при решении геометрических задач.	In accordance with the educational standard, as a result of studying the discipline, the student must: know: – concepts of line and surface in three-dimensional Euclidean space and their characteristics; – basic information about tensors and tensor algebra. be able to: – give examples of lines and surfaces in three-dimensional Euclidean space; – calculate the curvature and torsion of a line, use the concepts of the first and second quadratic forms to study the surface; – present examples of tensors in differential geometry and algebra. own: – methods of differential geometry and tensor theory when solving geometric problems.
Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study	3	3
Пререквизиты / Prerequisites	Аналитическая геометрия, алгебра, математический анализ	Analytical geometry, algebra, mathematical analysis
Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units	3 зачетные единицы.	3 credit units.
Количество часов, в том числе аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Number of hours, including classroom hours and independent work hours	Всего на изучение учебной дисциплины «Дифференциальная геометрия и тензорный анализ» отведено 120 часов, в том числе 70 аудиторных часов, из них: лекции – 34 часа, практические – 30 часов, управляемая самостоятельная работа – 6 часов.	In total, 120 hours are allocated for studying the academic discipline “Differential Geometry and Tensor Analysis”, including 70 classroom hours, of which: lectures – 34 hours, practical – 30 hours, guided independent work – 6 hours.
Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification	Используется следующий диагностический инструментарий: – контрольные работы; – устный опрос. Формой текущей аттестации по дисциплине «Дифференциальная геометрия и тензорный анализ» учебным планом предусмотрен экзамен.	The following diagnostic tools are used: – test papers; – oral survey. The form of current certification in the discipline “Differential Geometry and Tensor Analysis” is provided by the curriculum for an exam.