Smooth manifolds

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Раздел 1. Гладкие многообразия.

Тема 1.1. Гладкие структуры.

Введение (линии и поверхности). Локальные карты, атласы., гладкая структура. Примеры гладких многообразий. Атласы на двумерной сфере.

Тема 1.2. Гладкие отображения.

Гладкие функции на гладком многообразии. Алгебра гладких функций. Гладкие отображения многообразий. Диффеоморфизм.

Тема 1.3. Элементы классификации.

О классификации гладких многообразий. Гладкие структуры на n-мерном векторном пространстве.

Тема 1.4. Касательное пространство.

Касательный вектор (два подхода). Касательное пространство. Натуральный базис касательного пространства. 

Раздел 2. Гладкие векторные поля на многообразии.

Тема 2.1. Дифференциал.

Дифференциал гладкого отображения многообразий. Геометрический смысл дифференциала. Запись в локальных координатах. Цепное правило. 

Тема 2.2. Векторные поля.

Гладкие векторные поля (разные подходы). Векторные поля в координатной окрестности. Алгебра Ли гладких векторных полей.

Раздел 3. Расслоения.

Тема 3.1. Расслоения и морфизмы.

Основные понятия (база, слой, сечение, подрасслоение). Примеры. Морфизмы расслоений.

Тема 3.2. Типы расслоений.

Локально тривиальные и векторные расслоения. Примеры. Касательное расслоение к гладкому многообразию. 

Section 1. Smooth manifolds.

Topic 1.1. Smooth structures.

Introduction (lines and surfaces). Local maps, atlases, smooth structure. Examples of smooth varieties. Atlases on a two-dimensional sphere.

Topic 1.2. Smooth mappings.

Smooth functions on a smooth manifold. Algebra of smooth functions. Smooth mappings of manifolds. Diffeomorphism.

Topic 1.3. Elements of classification.

On the classification of smooth manifolds. Smooth structures on n-dimensional vector space.

Topic 1.4. Tangent space.

Tangent vector (two approaches). Tangent space. Natural basis of tangent space.

Section 2. Smooth vector fields on a manifold.

Topic 2.1. Differential.

Differential of a smooth mapping of manifolds. Geometric meaning of differential. Recording in local coordinates. Chain rule.

Topic 2.2. Vector fields.

Smooth vector fields (different approaches). Vector fields in a coordinate neighborhood. Lie algebra of smooth vector fields.

Section 3. Bundles.

Topic 3.1. Bundles and morphisms.

Basic concepts (base, layer, section, sublayer). Examples. Morphisms of bundles.

Topic 3.2. Types of bundles.

Locally trivial and vector bundles. Examples. Tangent bundle to a smooth manifold. 

Требования к компетенциям / Competency requirements

Освоение учебной дисциплины «Гладкие многообразия» должно обеспечить формирование следующей специализированной компетенции: 

СК-6. Применять актуальные методы геометрии и алгебры в математических моделях.

Mastering the academic discipline “Smooth Manifolds” should ensure the formation of the following specialized competence:

SK-6. Apply current methods of geometry and algebra to mathematical models.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен: 

знать: понятия гладкого многообразия, гладкого векторного поля, основные понятия о расслоениях; 

уметь: приводить примеры гладких многообразий и расслоений;

владеть: основными разделами теории гладких многообразий и расслоений. 

As a result of mastering the academic discipline, the student must:

know: the concepts of a smooth manifold, a smooth vector field, basic concepts of bundles;

be able to: give examples of smooth manifolds and bundles;

skill: the main sections of the theory of smooth manifolds and bundles.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

1

1

Пререквизиты / Prerequisites

Дифференциальная геометрия и топология

Differential geometry and topology

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3 зачетные единицы.

3 credit units.

Количество часов, в том числе аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Number of hours, including classroom hours and independent work hours

Всего 108 часов, в том числе 36 аудиторных часов, из них: лекции – 18 часов, лабораторные занятия – 14 часов, управляемая самостоятельная работа – 4 часа.

A total of 108 hours, including 36 classroom hours, of which: lectures – 18 hours, laboratory classes – 14 hours, guided independent work – 4 hours.

Требования и форма промежуточной аттестации / Requirements and form of intermediate certification

Устный опрос. Отчет по индивидуальным заданиям. Зачет.

Oral survey. Report on individual assignments. Test.