Theory of Lie groups

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Раздел 1. Группы Ли.

Тема 1.1. Определение и примеры групп Ли.

Определение группы Ли (варианты аксиом). Примеры групп Ли, их топологические свойства. Прямое произведение групп Ли, примеры. 

Тема 1.2. Гомоморфизмы групп Ли.

Гомоморфизмы групп Ли, примеры гомоморфизмов. Специальные отображения в группе Ли (левый сдвиг, правый сдвиг, внутренний автоморфизм). 

Тема 1.3. Подгруппы Ли.

Топологические подгруппы и подгруппы Ли. Открытые подгруппы. Классические группы Ли и классические геометрии.

Раздел 2. Алгебры Ли.

Тема 2.1. Алгебра Ли группы Ли.

Левоинвариантные векторные поля на группе Ли. Алгебра Ли группы Ли, ее геометрическая реализация. Соответствие между группами Ли и алгебрами Ли. 

Тема 2.2. Алгебры Ли (основные понятия).

Алгебры Ли, подалгебры Ли, идеалы. Структурные константы. Гомоморфизмы алгебр Ли, изоморфизм. Примеры алгебр Ли и гомоморфизмов.

Тема 2.3. Линейные представления.

Линейные представления алгебр Ли, типы линейных представлений. Теорема Адо. Присоединенное представление алгебры Ли. 

Section 1. Lie groups.

Topic 1.1. Definition and examples of Lie groups.

Definition of a Lie group (variants of axioms). Examples of Lie groups, their topological properties. Direct product of Lie groups, examples.

Topic 1.2. Homomorphisms of Lie groups.

Homomorphisms of Lie groups, examples of homomorphisms. Special mappings in the Lie group (left shift, right shift, inner automorphism).

Topic 1.3. Lie subgroups.

Topological subgroups and Lie subgroups. Open subgroups. Classical Lie groups and classical geometries.

Section 2. Lie algebras.

Topic 2.1. Lie algebra of a Lie group.

Left-invariant vector fields on a Lie group. Lie algebra of a Lie group, its geometric implementation. Correspondence between Lie groups and Lie algebras.

Topic 2.2. Lie algebras (basic concepts).

Lie algebras, Lie subalgebras, ideals. Structural constants. Homomorphisms of Lie algebras, isomorphism. Examples of Lie algebras and homomorphisms.

Topic 2.3. Linear representations.

Linear representations of Lie algebras, types of linear representations. Ado’s theorem. Adjoint representation of Lie algebra.

Требования к компетенциям / Competency requirements

Освоение учебной дисциплины «Теория групп Ли» должно обеспечить формирование следующей специализированной компетенции: 

СК-6. Применять актуальные методы геометрии и алгебры в математических моделях.

Mastering the academic discipline “Theory of Lie Groups” should ensure the formation of the following specialized competence:

SK-6. Apply current methods of geometry and algebra to mathematical models.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен: 

знать: понятия группы Ли, алгебры Ли, основные сведения об их взаимосвязи и о линейных представлениях; 

уметь: приводить примеры групп Ли и алгебр Ли;

владеть: основными разделами теории групп Ли и алгебр Ли.  

As a result of mastering the academic discipline, the student must:

know: the concepts of Lie group, Lie algebra, basic information about their relationship and linear representations;

be able to: give examples of Lie groups and Lie algebras;

skill: basic sections of the theory of Lie groups and Lie algebras.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study 

2

2

Пререквизиты / Prerequisites

Гладкие многообразия

Smooth Manifolds 

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3 зачетные единицы.

3 credit units.

Количество часов, в том числе аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Number of hours, including classroom hours and independent work hours

Всего 108 часов, в том числе 36 аудиторных часов, из них: лекции – 18 часов, лабораторные занятия – 14 часов, управляемая самостоятельная работа – 4 часа.

A total of 108 hours, including 36 classroom hours, of which: lectures – 18 hours, laboratory classes – 14 hours, guided independent work – 4 hours.

Требования и форма промежуточной аттестации / Requirements and form of intermediate certification

Отчет по индивидуальным заданиям. Экзамен.

Oral survey. Report on individual assignments. Exam.