Дополнительные главы прикладного анализа

Краткое содержание учебной дисциплины, моду 

Выпуклость является одним из основных понятий функционального анализа. Достаточно заметить, что само наличие ненулевого линейного непрерывного функционала на линейном топологическом пространстве равносильно существованию на этом пространстве выпуклого собственного подмножества с непустой внутренностью. Более того, как оказалось, выпуклые множества – наиболее подходящие объекты с позиции их изучения средствами анализа. Это основная причина, которая привела к созданию нового направления в математике – выпуклого анализа, основным объектом изучения которого и являются выпуклые множества.

Выпуклый анализ – один из самых красивых разделов современного анализа, в первую очередь в связи с тем, что он представляет собой сплав идей, как анализа, так и геометрии. Результаты выпуклого анализа нашли себе применение во многих областях математики, например в функциональном анализе, методах оптимизации, аналитической геометрии и других.

Большую роль понятие выпуклости играет, например, в математических моделях машинного обучения и экономики. В связи с этим, цель данного курса – дать студентам специальности «Искусственный интеллект и математическая экономика» необходимый им набор знаний по выпуклому анализу.

The convexity is one of the fundamental concepts of functional analysis. For instance the existence of nontrivial linear continuous functional on a topological vector space is equivalent to the existence of a proper convex subset with nonempty interior of that space. Moreover the convex sets are the best objects for styding with analytic methods. This is the main reason for making one new branch of mathematics – the convex analysis.

Сonvex analysis is one of the most beautiful sections of modern analysis, primarily due to the fact that it is a fusion of ideas, both analysis and geometry. The results of convex analysis have found application in many areas of mathematics, such as functional analysis, optimization methods, analytical geometry, and others.

The concept of convexity plays an important role, for example, in mathematical models of machine learning and economics. In this regard, the purpose of this course is to provide students of the specialty «Artificial Intelligence and Mathematical Economics» with the necessary set of knowledge on convex analysis.

Формируемые компетенции / The formed competences

базовые профессиональные компетенции: 

Использовать понятия и методы математического и функционального анализа и применять их для изучения моделей окружающего мира 

basic professional competencies: 

To use the concepts and methods of mathematical and functional analysis and apply them to study models of the surrounding world

Результаты обучения/ Learning outcomes 

знать:

— определение выпуклого множества; 

— топологические свойства выпуклых множеств;

–– размерность выпуклого множества; 

–– определение проекции точки на множество, критерий евклидовой проекции;

— критерий сильной отделимости и его следствия;

— определение конуса;

— определение крайней точки;

— комбинаторные свойства выпуклых множеств;

— определения выпуклых многогранников;

— определение выпуклой функции;

— определение субдифференциала.

уметь:

— применять к различным задачам теорию выпуклых множеств;

— строить математическую модель для различных практических задач;

— находить решения задач о выпуклых множествах и выпуклых функциях;

— самостоятельно ориентироваться в литературе по теме выпуклые множества и выпуклые функции.

иметь навык: 

 — владеть элементарными понятиями теории выпуклых множеств и теории выпуклых функций.

To know:

— definition of a convex set; 

— topological properties of convex sets; 

–– the dimension of a convex set;

 –– definition of the projection of a point onto a set, criteria of the Euclidean projection;

 — the criterion of strong separability and its consequences; 

— definition of the cone; 

— determination of the extreme point; 

— combinatorial properties of convex sets;

 — definitions of convex polyhedra; 

— definition of a convex function;

 — definition of the subdifferential.

To be able to:

— apply convex set theory to various problems;

 — build a mathematical model for various practical tasks;

 — find solutions to problems about convex sets and convex functions;

 — independently navigate the literature on convex sets and convex functions.

To have the skill of:

— master the elementary concepts of convex set theory and convex function theory

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

5

5

Пререквизиты / Prerequisites

«Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра», «Математический анализ»

“Analytic geometry”, “Linear algebra”, “Calculus”  

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3

3

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

всего 108 часов, в том числе 54 аудиторных часов, из них: лекции — 28 часов, лабораторные занятия — 22 часов, управляемая самостоятельная работа — 4 часов.

a total of 108 hours, including 54 classroom hours, of which: lectures — 28 hours, laboratory classes — 22 hours, guided independent work — 4 hours.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

экзамен  

exam