Прикладная алгебра

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

В настоящее время теоретико-числовые алгоритмы повсеместно используются в различных системах обеспечения безопасности информации, таких как системы шифрования, цифровой подписи и обмена ключами. Целью учебной дисциплины «Прикладная алгебра» является знакомство учащихся с базовыми теоретико-числовыми алгоритмами, использующимися в современных асимметрических криптосистемах, а также рассмотрение ряда вспомогательных теоретических вопросов алгебры и теории чисел, необходимых для понимания работы алгоритмов защиты информации. Рассматриваются основы теории чисел, включая первообразные корни, квадратичный закон взаимности, непрерывные дроби. Изучаются алгоритмы проверки чисел на простоту, факторизации чисел, построения больших простых чисел. Рассматриваются эллиптические кривые и методы вычисления порядка группы точек эллиптической кривой над конечным полем; криптосистемы RSA и и криптосистема на эллиптических кривых.

Number-theoretic algorithms are widely used in various information security systems, such as encryption, digital signature, and key exchange. The course «Applied Algebra» aims to introduce students to the basic number-theoretic algorithms used in modern asymmetric cryptosystems and to examine a number of auxiliary theoretical topics in algebra and number theory necessary for understanding the operation of information security algorithms. The course covers the fundamentals of number theory, including primitive roots, quadratic reciprocity, and continued fractions. Algorithms for checking the primality of numbers, factoring numbers, and constructing large prime numbers are explored. Elliptic curves and methods for calculating the order of a group of points on an elliptic curve over a finite field are considered, as are RSA cryptosystems and elliptic curve cryptosystems..

Формируемые компетенции / The formed competences

Базовые профессиональные компетенции:

Применять основные алгебраические и геометрические понятия, конструкции и методы для решения теоретических и прикладных математических задач.

Basic professional competencies: Apply basic algebraic and geometric concepts, constructs, and methods to solve theoretical and applied mathematical problems.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

знать:

•  основные понятия и результаты алгоритмической теории чисел;
•  основные понятия и результаты, связанные с эллиптическими кривыми;
• общие математические основы построения криптосистем с открытым ключом;

уметь:

– производить вычисления в конечных полях и кольцах вычетов;

– находить порядок группы точек специальных эллиптических кривых над конечными полями; 

– строить конечные поля заданного порядка;

– строить расширения полей и выполнять вычисления в них;

– строить криптосистемы с открытым ключом;

владеть:

– навыком решения задач связанных с эллиптическими кривыми и конечными полями;

– навыком доказательства основных теорем, встречающихся в дисциплине «Прикладная алгебра».

– навыком самообразования и использования аппарата алгебры и теории чисел для проведения математических и междисциплинарных исследований.

Know: 

– Basic concepts and results of algorithmic number theory; 

– Basic concepts and results related to elliptic curves; 

– General mathematical foundations of constructing public-key cryptosystems; 

be able to:

– Perform calculations in finite fields and residue rings; 

– Find the order of a group of points of special elliptic curves over finite fields; 

– Construct finite fields of a given order; 

– Construct field extensions and perform calculations in them; 

– Build public-key cryptosystems; 

posses:

– The ability to solve problems related to elliptic curves and finite fields; 

– The ability to prove the fundamental theorems encountered in the course «Applied Algebra.» 

– The ability to self-study and use the apparatus of algebra and number theory to conduct mathematical and interdisciplinary research.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

5

5

Пререквизиты / Prerequisites

«Алгебра и теория чисел»

«Algebra and number theory»

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3

3

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

всего 102 часа, в том числе 54 аудиторных часа, из них: лекции – 28 часов, лабораторные занятия – 22 часа, управляемая самостоятельная работа – 4 часа.

total 102 hours, including 54 classroom hours, including: lectures – 28 hours, practical classes – 22 hours, guided independent work – 4 hours.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

экзамен

exam