Дифференциальная геометрия и топология

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Компактность.

Определение и примеры компактных пространств и их простейшие свойства. Компактность и непрерывные отображения. 

Полные и вполне ограниченные метрические пространства.

Определение и примеры полных метрических пространств. Свойства полных пространств. Вполне ограниченные метрические пространства и их простейшие свойства.

Компактные метризуемые пространства.

Основные критерии компактности метризуемых пространств.

Аксиомы счётности и сепарабельность.

Понятие базы и фундаментальной системы окрестностей топологического пространства. Первая и вторая аксиомы счётности. Всюду плотные множества в топологических пространствах. Сепарабельность. Связь между сепарабельностью и второй аксиомой счётности.

Методы введения топологий.

Методы введения топологий. Примеры, иллюстрирующие связь между аксиомами счётности и сепарабельностью.

Произведения топологических пространств.

Произведения топологических пространств и их простейшие свойства. Непрерывность отображения в произведение.

Фактор-пространства.

Фактор-пространства и факторные отображения. Примеры.  

Compactness.

Definition and examples of compact spaces and their simplest properties. Compact and continuous displays.

Complete and completely bounded metric spaces.

Definition and examples of complete metric spaces. Properties of complete spaces. Completely bounded metric spaces and their simplest properties.

Compact metrizable spaces.

Basic criteria for the compactness of metrizable spaces.

Axioms of countability and separability.

The concept of a base and a fundamental system of neighborhoods of a topological space. The first and second axioms of countability. Everywhere dense sets in topological spaces. Separability. The connection between separability and the second axiom of countability.

Methods for introducing topologies.

Methods for introducing topologies. Examples illustrating the connection between the axioms of countability and separability.

Products of topological spaces.

Products of topological spaces and their simplest properties. Continuity of mapping into a work.

Factor-space.

Factor spaces and factor mappings. Examples.

Формируемые компетенции / The formed competences

базовые профессиональные компетенции: применять основные алгебраические и геометрические понятия, конструкции и методы при решении теоретических и прикладных математических задач. 

специализированные компетенции: применять основные алгоритмы компьютерной геометрии и современные математические средства визуализации изображений и анимации.

basic professional competencies: apply basic algebraic and geometric concepts, constructions and methods in solving theoretical and applied mathematical problems.

specialized competencies: apply basic computer geometry algorithms and modern mathematical tools for image visualization and animation.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате изучения дисциплины студент должен 

знать:

• понятия метрического и топологического пространств;
• свойства непрерывных отображений метрических и топологических пространств, свойства связных и компактных пространств;
• понятия линии и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве и их характеристики;

уметь:

• находить замыкание, внутренность и границу множеств в метрических и топологических пространствах, определять, является ли пространство связным, компактным, сепарабельным;
• вычислять кривизну и кручение линии, использовать понятия первой и второй квадратичных форм для исследования поверхности;

иметь навык:

• методами общей топологии и дифференциальной геометрии при решении геометрических задач.

As a result of studying the discipline, the student must

know:

– concepts of metric and topological spaces;

– properties of continuous mappings of metric and topological spaces, properties of connected and compact spaces;

– concepts of line and surface in three-dimensional Euclidean space and their characteristics;

be able to:

• •  find the closure, interior and boundary of sets in metric and topological spaces, determine whether the space is connected, compact, separable;
• calculate the curvature and torsion of a line, use the concepts of the first and second fundamental forms to study the surface;

have the skill of:

– applying methods of general topology and differential geometry to solve geometric problems.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

4

4

Пререквизиты / Prerequisites

— Введение в специальность

 —  Геометрия

 — Математический анализ

 — Алгебра и теория чисел

— Introduction to the specialty

 — Geometry

 — Mathematical analysis

 — Algebra and number theory

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

2 зачетных единиц.

2 credit units.

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

Всего 88 часа, из них 34 аудиторных часа и 54 часа самостоятельной работы.

A total of 88 hours, of which 34 classroom hours and 54 hours of independent work.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Устный опрос. Отчет по индивидуальным заданиям. Контрольные работы. Зачет. 

Oral questioning. Report on individual assignments. Test. Credit.