Экстремальные задачи и вариационное исчисление

1.       

Название дисциплины

Экстремальные задачи и вариационное исчисление

2.       

Курс обучения

специальность

4, специальность Математика (экономическая деятельность)

3.       

Семестр обучения

7

4.       

Количество кредитов

4

5.       

Ф.И.О. лектора

Лебедев Андрей Владимирович

6.       

Цели изучения дисциплины

Изучение основных методов решения классических вариационных задач. Повышение уровня профессиональной компетенции в решении проблем оптимизации. Дальнейшее формирование у студентов навыков абстрактного математического мышления и умения применять его в конкретных задачах, повышение их математической культуры.

В результате изучения студент должен уметь:

— находить точки минимума и максимума для функций, определенных на конечномерных пространствах;

—  строить модели экстремальных задач в конечномерных и бесконечномерных простран­ствах;

—находить допустимые экстремали в классической вариационной задаче;

— использовать условия второго порядка для решения задач вариационного исчисления;

— использовать необходимое условие сильного экстремума в вариационных задачах.

7.       

Пререквизиты

Математический анализ

Алгебра и теория чисел

Дифференциальные уравнения

Методы оптимизации в конечномерных пространствах

Функциональный анализ

8.       

Содержание дисциплины

Задачи оптимизации в бесконечномерных пространствах. Задача о брахистохроне.

Введение в вариационное исчисление. История и значение в развитии бесконечномерного анализа.

Простейшая вариационная задача.

Сильный и слабый экстремумы в простейшей вариационной задаче

Вариации целевого функционала простейшей вариационной задачи.

Дифференцирование функций и отображений, определенных на нормированных пространствах. Определения первой и второй вариации Лагранжа. Производные Гато и Фреше.

 Общий вид первой и второй вариации интегрального функционала.

Необходимые условия локального минимума в простей-шей вариационной задаче.

Условия локального минимума первого и второго порядка для функций, определенных на нормированных пространствах. Особенности достаточных условий локального минимума в бесконечномерных пространствах.Необходимые условия первого и второго порядка для локального минимума простейшей вариационной задачи в терминах вариаций целевого функционала.

Интегральное и дифференциальное уравнения Эйлера. Условие Вейерштрасса–Эрдмана. Теорема Гильберта. Теория второй вариации. Необходимое условие Лежандра. Необходимое условие Якоби.

Достаточное условия  слабого локального минимума в простейшей вариационной задаче.

Использование достаточного условия Якоби слабого локального минимума в простейших вариационных задачах.

Необходимое условие Вейерштрасса сильного минимума  в простейшей вариационной задаче.

Изопериметрическая вариационная задача.

Локальный минимум в изопериметрической вариационной задаче.

9.       

Рекомендуемая литература

1.  Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. — Москва, Изд-во МГУ, 1989.

2. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория.Примеры, Задачи. Учебное пособие: — Москва, Наука, 1984.

3. Гороховик В.В. Конечномерные задачи оптимизации. — Минск, 2006.

4.Лебедев А.В., Пиндрик О.И. Вариационные задачи (сильный и слабый экстремум). Метод. Пособие

5.  Бахтин В.И., Иванишко И.А., Лебедев А.В., Пиндрик О.И.  Принцип Лагранжа. Метод. пособие

10.   

Методы преподавания

Лекции, практические занятия, УИРС

11.   

Язык обучения

Русский

12.   

Условия (требования), текущий контроль

контрольные работы (при выставлении экзаменационной  оценки учитывается текщая успеваемость — с коэффициентом 0,3)

13.   

Форма аттестации

Экзамен