Алгебра и теория чисел

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Учебная дисциплина «Алгебра и теория чисел» является базовой для преподавания большинства математических дисциплин. Цель дисциплины «Алгебра и теория чисел» — изложить основы современных алгебры и теории чисел. Образовательная цель —  обучить студентов фундаментальным методам общей алгебры, линейной алгебры, теории чисел; ознакомить с основными алгебраическими структурами — группами, кольцами и полями; создать базу для освоения основных понятий и методов современной математики.

The course «Algebra and Number Theory» is fundamental to the teaching of most mathematical disciplines. Its goal is to present the foundations of modern algebra and number theory. The educational goal is to teach students the fundamental methods of general algebra, linear algebra, and number theory; to introduce them to the basic algebraic structures—groups, rings, and fields; and to lay the foundation for mastering the fundamental concepts and methods of modern mathematics.

Формируемые компетенции / The formed competences

Базовые профессиональные компетенции:  Применять основные алгебраические и геометрические понятия, конструкции и методы для решения теоретических и прикладных математических задач

Basic professional competencies: 

Apply basic algebraic and geometric concepts, constructions and methods to solve theoretical and applied mathematical problems

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

знать:

– основные понятия и результаты линейной алгебры, теории билинейных и квадратичных форм, теории групп, колец и полей; 

– методы доказательств важнейших результатов, изучаемых в рамках учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел»; 

– алгоритмы решения задач по алгебре;

уметь: 

выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра; 

– вычислять определители; 

– выполнять операции над матрицами; 

– решать системы линейных уравнений; – находить базис векторного пространства, суммы и пересечения подпространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и системы векторов; – находить собственные значения и собственные векторы матрицы и линейного оператора; 

– приводить квадратичную форму к каноническому виду; 

– приводить ортогональный оператор к каноническому виду; 

– находить ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству; 

– определять, является ли данное подмножество подгруппой в группе, подкольцом или идеалом в кольце, подполем в поле; 

– производить вычисления в факторгруппе, факторкольце;

иметь навык: 

– решения задач, связанных с линейной алгеброй, многочленами, комплексными числами, квадратичными и билинейными формами, группами, кольцами и полями;

 – доказательств основных теорем, встречающихся в курсе «Алгебра и теория чисел». 

– самообразования и способами использования аппарата алгебры и теории чисел для проведения математических и междисциплинарных исследований.

know:

– fundamental concepts and results of linear algebra, the theory of bilinear and quadratic forms, and the theory of groups, rings, and fields;

– methods of proving the most important results studied in the course «Algebra and Number Theory»;

– algorithms for solving algebra problems;

be able to:

— perform operations with complex numbers in algebraic and trigonometric form, extract roots of complex numbers, apply Moivre’s formula;

— calculate determinants;

— perform operations on matrices;

— solve systems of linear equations; — Find a basis for a vector space, sums and intersections of subspaces, coordinates of a vector in a given basis, find the rank of a matrix and a system of vectors; 

— find the eigenvalues and eigenvectors of a matrix and a linear operator;

— reduce a quadratic form to canonical form; — Reduce an orthogonal operator to canonical form;

– find an orthonormal basis, an orthogonal complement to a subspace;

– determine whether a given subset is a subgroup of a group, a subring or ideal of a ring, or a subfield of a field;

– perform calculations in a quotient group, quotient ring;

have the following skills:

– solving problems related to linear algebra, polynomials, complex numbers, quadratic and bilinear forms, groups, rings, and fields;

– proving the main theorems encountered in the course «Algebra and Number Theory.»

– self-study and methods for using the apparatus of algebra and number theory to conduct mathematical and interdisciplinary research.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

2

2

Пререквизиты / Prerequisites

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3

3

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

всего 116 часов, в том числе 68 аудиторных часа, из них: лекции – 34 часа, лабораторные занятия – 30 часов, управляемая самостоятельная работа – 4 часа.

total 116 hours, including 68 classroom hours, including: lectures – 34 hours, laboratory classes – 30 hours, guided independent work – 4 hours.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Экзамен, зачет

Exam, credit