Функциональный анализ

1.       

Название дисциплины

Функциональный анализ

2.       

Курс обучения

3, специальность Математика (экономическая деятельность)

3.       

Семестр обучения

5

4.       

Количество кредитов

4

5.       

Ф.И.О. лектора

Антоневич Анатолий Борисович

6.       

Цели изучения дисциплины

освоение студентами языка современной математики, владение общими конструкциями и умение их применять в теоретических и прикладных задачах.

В результате изучения студент должен уметь:

уметь:

–                    выявлять конструкции функционального анализа в конкретных задачах;

–                    устанавливать свойства отображений в функциональных пространствах;

применять результаты функционального анализа для решения теоретических и прикладных задач

7.       

Пререквизиты

Теория вероятностей, Математическая статистика, Уравнения математической физики, Методы оптимизации, Экстремальные задачи и вариационное исчисление, Численные методы

8.       

Содержание дисциплины

Тема 5.           Нормированные пространства.  Векторные пространства, нормированные пространства. Непрерывность операций сложения и умножения на число. Банаховы пространства. Пополнение нормированных пространств. Критерий конечномерности нормированного пространства. Тема 6.          Гильбертовы пространства. Определение скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Гильбертовы пространства. Теорема о проекции. Теорема о рядах Фурье. Критерий существования счетного ортонормированного базиса. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств. Тема 7.            Линейные операторы в нормированных пространствах. Связь ограниченности с непрерывностью для линейных операторов. Норма оператора. Пространство линейных ограниченных операторов. Различные виды сходимости линейных ограниченных операторов. Теорема Банаха-Штейнгауза.  Обратные операторы. Теорема Банаха об обратном операторе. Обратимость оператора, близкого к единичному. Открытость множества обратимых операторов.  Теорема Банаха об обратном операторе. Тема 8.    Линейные непрерывные функционалы. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного непрерывного функционала. Общий вид линейных непрерывных функционалов в конкретных пространствах.  Сопряженное пространство. Сопряженный оператор и его свойства. Теорема о замыкании образа линейного ограниченного оператора.

Тема 9.           Компактные операторы.  Определения и свойства. Компактность интегральных операторов в конкретных пространствах. Уравнения с компактными операторами. Теория Рисса-Шаудера для уравнений с компактными операторами в гильбертовом пространстве.  Альтернатива Фредгольма для интегральных операторов.

9.       

Рекомендуемая литература

Основная литература:

1. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. 2-е изд., перераб. и доп. Минск, Изд-во БГУ, 2006.

2. Антоневич А.Б., Мазель М.Х., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Учебное пособие. Минск, Изд-во БГУ, 2011.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио-нального анализа. М., Физматлит, 2004.

4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., Высшая школа, 1982.

5. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Физматлит, 2002.

Дополнительная литература:

1. Березанский Ю.М., Ус Г.Ю., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев, Выща школа, 1990.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. СПб., Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2002.

3. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М., Наука, 1979.

4. Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Минск, Вышэйшая школа, 1978.

10.   

Методы преподавания

Лекции, практические занятия, УИРС

11.   

Язык обучения

Русский

12.   

Условия (требования), текущий контроль

— контрольная работа;

— коллоквиум

Оценка на экзамене выставляется с учетом: 30% — работа на лабораторных и практических занятиях, 70% — устный экзамен.

13.   

Форма аттестации

 Экзамен