Функциональный анализ

1.       

Название дисциплины

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

2.       

Курс обучения

специальность

3, специальность Механика и математическое моделирование

3.       

Семестр обучения

5

4.       

Количество кредитов

3

5.       

Ф.И.О. лектора

Чесалин Владимир Иванович

6.       

Цели изучения дисциплины

Освоение студентами языка современной математики, владение общими конструкциями и умение их применять в теоретических и прикладных задачах.

Ознакомление студентов с основными принципами функционального анализа и примерами их приложений.

Дальнейшее формирование у студентов навыков абстрактного математического мышления и умения применять его в конкретных задачах, повышение их математической культуры.

В результате изучения студент должен уметь:

— выявлять конструкции функционального анализа в конкретных задачах;

— устанавливать свойства отображений в функциональных пространствах;

— применять результаты функционального анализа для решения теоретических и прикладных задач.

7.       

Пререквизиты

Алгебра и теория чисел,

Дискретная математика,

Аналитическая геометрия,

Математический анализ,

Дифференциальные уравнения,

Теория функций комплексного переменного

8.       

Содержание дисциплины

Раздел 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

Тема 1.1. Метрические пространства. Топология, порожденная метрикой. Основные примеры функциональных метрических пространств. Полные пространства. Теорема о пополнении.

Раздел 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ, РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ И ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ.

Тема 2.1. Сжимающие отображения. Теоремы о продолжении. Принцип сжимающих отображений и его применение к интегральным уравнениям.

Раздел 3. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА.

Тема 3.1. Общее понятие меры. Задача о пополнении пространства непрерывных функций с интегральной метрикой. Системы подмножеств: кольца, алгебры, -алгебры.

Тема 3.2. -аддитивные меры. -аддитивность длины. Продолжение меры по Лебегу. Основная теорема. Мера Лебега и меры Лебега-Стилтьеса на прямой. Измеримые функции, простые функции. Интеграл от простой функции. Общее определение интеграла Лебега.

Тема 3.3. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Неравенства Юнга, Гельдера, Минковского. Пространства , их полнота. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям в .

Раздел 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

Тема 4.1. Векторные, нормированные, банаховы пространства. Ряды в банаховых пространствах. Линейные операторы. Норма ограниченного оператора. Пространство линейных ограниченных операторов. Теорема Банаха-Штейнгауза.

Раздел 5. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

Тема 5.1. Гильбертовы пространства. Определение скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема о проекции. Теорема о рядах Фурье.

Раздел 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

Тема 6.1. Обратимые операторы. Теоремы об обратимости.

Тема 6.2. Спектр и резольвента линейного ограниченного оператора. Теорема Банаха об обратном операторе.

Раздел 7. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

Тема 7.1. Линейные ограниченные функционалы. Теорема Хана-Банаха. Общий вид линейного ограниченного функционала в гильбертовых и некоторых других конкретных пространствах.

Тема 7.2. Сопряженные пространства и операторы. Теорема об условиях разрешимости линейного уравнения.

Раздел 8. УРАВНЕНИЯ С КОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ.

Тема 8.1. Компактные операторы. Альтернатива Фредгольма для уравнений с операторами конечного ранга. Компактность интегральных операторов в конкретных пространствах. Критерий конечномерности нормированного пространства.

Тема 8.2. Теория Рисса-Шаудера для уравнений с компактными операторами в гильбертовом пространстве. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений в прстранствах  и .

9.       

Рекомендуемая литература

Основная литература:

1. Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения : учебник / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. 2-е изд., перераб. и доп. – Минск : БГУ, 2006. – 430 с.

2. Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения : учеб. пособие / А. Б. Антоневич, М. Х. Мазель Я. В. Радыно.  – Минск : БГУ, 2011. – 319 с.

3. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. 7-е изд. – М. : Физматлит, 2004. – 572 с.

4. Люстерник, Л. А. Краткий курс функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. 2-е изд., стер. – М. : Физматлит, 2009. – 272 с.

5. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. 3-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2002. – 488 с.

Дополнительная литература:

6. Березанский, Ю. М. Функциональный анализ. Курс лекций : учеб. пособие / Ю. М. Березанский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель. – К. : Выща школа, 1990. – 600 с.

7. Ворович, И. И. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды : учеб. пособие / И. И. Ворович, Л. П. Лебедев. 3-е изд., испр. – М. : Вузовская книга, 2000. – 488 с.

8. Кириллов, А. А. Теоремы и задачи функционального анализа / А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. – М. : Наука, 1979. – 488 с.

9. Антоневич, А. Б. Задачи и упражнения по функциональному анализу : учеб. пособие для мат. спец. вузов/ А. Б. Антоневич, П. Н. Князев, Я. В. Радыно; Под ред. С. Г. Крейна – Минск : Выш. школа, 1978. – 208 с.

10.   

Методы преподавания

интерактивные методы обучения (работа в малых группах (команде), проблемное обучение) организуется с учетом включенности в процесс познания всех студентов группы.  Совместная деятельность означает, что каждый студент вносит свой особый индивидуальный вклад, в ходе работы идет обмен знаниями, идеями, способами деятельности. Организуются индивидуальная, парная и групповая работа. Интерактивные методы основаны на принципах взаимодействия, активности обучаемых, опоре на групповой опыт, обязательной обратной связи

11.   

Язык обучения

Русский

12.   

Условия (требования), текущий контроль

— контрольная работа;                    

— коллоквиум

Оценка на экзамене выставляется с учетом: 30% работа на практических занятиях, 70% – устный экзамен

13.   

Форма аттестации

Экзамен