Дифференциальные уравнения

Описание дисциплины

1

Название дисциплины

Дифференциальные уравнения

2

Курс обучения, специальность

2
1-31 03 01-01 Математика (Научно-производственная деятельность)

3

Семестр обучения

4

4

Количество кредитов

4

5

ФИО лектора

Профессор Громак В.И., д.ф.-м.н.

6

Цели изучения дисциплины

Формирование у студентов навыков и умений проведения математических исследований на основе теории дифференциальных уравнений, обучению основным аналитическим, качественным и асимптотическим методам теории дифференциальных уравнений, построению и анализу основных математических моделей на основе теории дифференциальных уравнений.

В результате обучения студент должен

знать:

–       основные понятия и методы общей теорий линейных дифференциальных уравнений, теоремы существования и единственности;

–       основные методы интегрирования линейных дифференциальных уравнений и систем, метод Эйлера, метод исключения, матричный метод;

–       постановку задачи Коши и краевых задач;

–       основные понятия и методы теории устойчивости по Ляпунову.

уметь:

–       применять методы общей теорий линейных дифференциальных уравнений для решения основных типов линейных дифференциальных уравнений и систем;

–       ставить начальные и краевые задачи, решать вопросы существования и единственности решения начальных и краевых задач

–       строить фазовые портреты простейших автономных систем на плоскости.

–       применять основные теоремы второго метода Ляпунова для решения вопросов устойчивости движения.

7

Пререквизиты

Материалы курсов 1-3 семестров: «Алгебра и теория чисел», «Геометрия», «Математический анализ». «Дифференциальные уравнения»

8

Содержание дисциплины

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений линейных однородных дифференциальные уравнений n-го порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского – Лиувилля. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Метод Коши. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Линейные уравнения второго порядка и колебательные явления. Теоремы Штурма о нулях решений. Понятие о краевых задачах. Линейные дифференциальные уравнения с голоморфными коэффициентами. Обобщённые степенные ряды. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи степенных и обобщённых степенных рядов. Уравнение Эйри и Бесселя. Функции Бесселя.

Линейные дифференциальные системы. Свойства решений Линейная независимость вектор-функций. Формула Остроградского-Лиувилля. Фундаментальная система решений. Фундаментальная матрица. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных систем. Экспоненциальная функция матричного аргумента. Теорема Лаппо-Данилевского. Матричный метод интегрирования линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Структура фундаментальной матрицы. Метод Эйлера. Линейные системы с периодическими коэффициентами. Приводимые системы. Решение неоднородной системы с правой частью специального вида.

Автономные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы. Фазовые портреты линейной автономной системы двух уравнений. Особые точки: узел, седло, фокус, центр. Понятие предельного цикла. Проблема центра и фокуса.

Устойчивость по Ляпунову решений дифференциальных уравнений. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Критерий асимптотической устойчивости нулевого решения линейных автономных систем и уравнения n-го порядка. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

9

Рекомендуемая литература

Основная:

1.     Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения, Минск, БГУ, 2012.

2.     Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: «Высшая школа», 1991.

3.     Федорюк М.В. Обыкновенных дифференциальные уравнения. СПб.; Издательство «Лань», 2003.

4.     Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва «Наука», 1992.

Дополнительная:

1.     Богданов Ю.С., Мазаник С.А., Сыроид Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений. Минск: «Университетское», 1996.

2.     Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: «Наук»,1972.

3.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва: Физматгиз, 1959.

10

Методы преподавания

Лекционный с практическими занятиями, использованием элементов дистанционного обучения и электронных материалов.

11

Язык обучения

Русский

12

Условия(требования), текущий контроль

Контрольные работы, тесты. Оценка на экзамене выставляется с учетом: текущей оценки – 40%, устного ответа на экзамене – 60%.

13

Форма текущей аттестации

Зачет, экзамен