Алгебра и теория чисел

Название дисциплины

Алгебра и теория чисел (ч. 2)

Курс обучения, специальность

1,Математика (научно-производственная деятельность)

Семестр обучения

Количество кредитов

Ф.И.О лектора

Тихонов С.В.

Цели изучения дисциплины

Обучение студентов фундаментальным методам общей алгебры, линейной алгебры, теории чисел; знакомство с основными алгебраическими структурами — группами, кольцами и полями; создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики; формирование у студентов основ математического мышления; знакомство с методами математических доказательств; изучение алгоритмов решения конкретных математических задач; привитие студентам умения самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.

В результате изучения учебной дисциплины студент должен уметь:

– выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра;

– вычислять определители;

– выполнять операции над матрицами;

– решать системы линейных уравнений;

– находить базис векторного пространства, суммы и пересечения подпространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и системы векторов;

– находить собственные значения и собственные векторы матрицы и линейного оператора;

– приводить квадратичную форму к каноническому виду;

– приводить ортогональный оператор к каноническому виду;

– находить ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству;

– определять, является ли данное подмножество подгруппой в группе, подкольцом или идеалом в кольце, подполем в поле;

– производить вычисления в факторгруппе, факторкольце;

Пререквизиты

Алгебра и теория чисел (ч. 1)

Содержание дисциплины

Векторные пространства

Определение и примеры. Система образующих, конечномерные пространства.

Линейная независимость векторов. Теорема Штейница о замене. Базис, размерность.

Координаты вектора, их изменение при изменении базиса. Матрица перехода, преобразование координат вектора. Подпространство, его размерность.

Ранг системы векторов. Ранг матрицы.

Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Прямая сумма подпространств

Системы линейных уравнений

Матричная запись линейной системы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. Однородные системы, условие существования нетривиального решения.

Фундаментальная система решений. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем.

Задание подпространства векторного пространства системой линейных уравнений.

Дифференцируемые функции многих переменных

Линейное отображение, его ядро и образ. Ранг и дефект. Алгебраические действия над линейными отображениями: сумма, умножение на константу, композиция.

Линейный оператор и его матрица. Изменение матрицы оператора при переходе к другому базису.

Матрица композиции и суммы линейных операторов.

Пространство линейных операторов и его связь с пространством матриц. Условия обратимости оператора.

Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Нормальные формы матриц

Инвариантное подпространство. Сужение оператора на инвариантное подпространство.

Матрица оператора при наличии инвариантного подпространства, при разложении пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.

Собственное число и собственный вектор оператора. Характеристический многочлен оператора и матрицы.

Теорема Гамильтона–Кэли. Оператор, имеющий диагональную матрицу в некотором базисе; признак диагонализируемости. Жорданова матрица.

Теорема о существовании жордановой нормальной формы матрицы. Алгоритм приведения к жордановой нормальной форме. Нормальная форма Фробениуса.

Рекомендуемая литература

1. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 1. Мн.: Амалфея, 2001.

2. Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 2. Мн.: Амалфея, 2001.

3. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачев М.М., Феденко А.С. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Мн.: Университетское, 1999.

4. Монахов В.С., Бузланов А.В. Алгебра и теория чисел: практикум. Минск: Изд. центр БГУ, 2007.

5. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.

6. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

7. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 1. Введение в алгебру. Минск: БГПУ, 2005.

8. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 2. Линейная алгебра. Минск: БГПУ, 2006.

9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т. 1—3. М.: Физ.—мат. литература, 2000-2001.

10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 1998.

11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965 (и более поздние издания).

12. Мальцев И.М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

13. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

14. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал—пресс, 2001.

15. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1976.

Дополнительная литература

16. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.

17. Ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1976.

18. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1983.

19. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

20. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

21. Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М.: Наука, 1987.

Методы преподавания

Словесный, наглядный, проблемный, практический, диалогово-эвристический.

Язык обучения

Русский

Условия (требования), текущий контроль

— проверка индивидуальных заданий,

— коллоквиум,

— контрольная работа.

Оценка на экзамене выставляется с учетом:

40% — работа в семестре,

60% — устный ответ на экзамене.

Форма текущей аттестации

Экзамен, зачет

Алгебра i тэорыя лiкаў

УМК Алгебра и теория чисел