Численные методы

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Введение. Об основных задачах и содержании вычислительной математики. Содержание и назначение вычислительного эксперимента в трактовке А.А. Самарского.

Элементы теории погрешностей. Значащие и верные цифры в записи приближенного числа. Абсолютная и относительная погрешности. Погрешности арифметических операций. Прямая и обратная задачи теории погрешностей. Примеры неустойчивых алгоритмов. Погрешность вычислений на ЭВМ. Погрешность округлений и компьютерная запись чисел.

Интерполирование и приближение функций. Системы функций Чебышева. Интерполирование обобщенными многочленами. Алгебраическое интерполирование. Построение интерполяционного многочлена в форме Лагранжа. Конечные разности. Разделенные разности, их свойства. Интерполяционный многочлен Ньютона. Представление погрешности интерполирования. Минимизация погрешности интерполирования дискретно заданных функций. Многочлены Чебышева. Минимизация погрешности интерполирования для функций, заданных на отрезке. Интерполирование по равноотстоящим узлам. Интерполирование сплайнами. Интерполяционная задача Эрмита. Тригонометрическое интерполирование. Дискретное и быстрое преобразование Фурье. Численное дифференцирование и оценка его погрешности. Задача аппроксимации. Метод наименьших квадратов.

Приближенное вычисление интегралов. Квадратурные формулы общего вида. Квадратурные формулы, основанные на алгебраическом интерполировании. Простейшие квадратурные правила Ньютона-Котеса. Погрешность интегрирования. Составные квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Погрешность интегрирования. Правила Рунге и Эйткена практической оценки погрешности квадратурных формул. Квадратурные формулы типа Гаусса. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы. Частные случаи квадратур гауссова типа. Вычисление интегралов от функций специального вида.

Обобщение интерполирования и численного интегрирования на случай функций многих переменных. Интерполирование многочленами многих переменных. Численное дифференцирование функций многих переменных. Вычисление кратных интегралов. Метод Монте-Карло.

Introduction. On the main tasks and content of computational mathematics. The content and purpose of the computational experiment as interpreted by A.A. Samarsky.

Elements of error theory. Significant and correct digits in writing approximate numbers. Absolute and relative errors. Errors in arithmetic operations. Direct and inverse problems of error theory. Examples of unstable algorithms. Error in computer calculations. Rounding error and computer recording of numbers.

Interpolation and approximation of functions. Systems of Chebyshev functions. Interpolation by generalized polynomials. Algebraic interpolation. Construction of an interpolation polynomial in Lagrange form. Finite differences. Separated differences, their properties. Newton’s interpolation polynomial. Interpolation error representation. Minimizing the interpolation error of discretely specified functions. The Chebyshev polynomials. Minimization of interpolation error for functions specified on a segment. Interpolation by equally spaced nodes. Spline interpolation. The Hermite interpolation problem. Trigonometric interpolation. Discrete and fast transform of Fourier. Numerical differentiation and estimation of its error. Approximation problem. Least square method.

Approximate calculation of integrals. General quadrature formulas. Quadrature formulas based on algebraic interpolation. The simplest Newton-Cotes quadrature rules. Integration error. Composite Newton-Cotes quadrature formulas. Integration error. Runge and Aitken’s rules for practical estimation of the error of quadrature formulas. Quadrature formulas of Gauss type. Optimization of the distribution of nodes of the quadrature formula. Special cases of Gaussian-type quadratures. Calculation of integrals of functions of a special form.

Generalization of interpolation and numerical integration to the case of functions of several variables. Interpolation by polynomials of many variables. Numerical differentiation of functions of several variables. Calculation of multiple integrals. Monte Carlo method.

Формируемые компетенции / The formed competences

Специализированная компетенция:

осуществлять обоснованный выбор рациональной численной методики для решения типовых математических задач, проводить ее реализацию с использованием современных программных средств компьютерных вычислений, оценивать корректность полученных результатов и анализировать возможности альтернативных подходов.

Specialized competence:

make a reasonable choice of a rational numerical technique for solving standard mathematical problems, carry out its implementation using modern computer software, evaluate the correctness of the results obtained and analyze the possibilities of alternative approaches.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате освоения учебной дисциплины студент должен

знать:

источники погрешности численных результатов;

понятия устойчивости, сходимости и вычислительной сложности численных алгоритмов;

требования корректности постановки задачи;

основные приемы оценки погрешности численных методов;

назначение и вычислительные качества наиболее популярных численных методов интерполирования (формулы Лагранжа и Ньютона, метод наилучшего приближения в среднеквадратичной норме), приближенного интегрирования (формулы трапеций и Симпсона, методы типа Гаусса наивысшей алгебраической степени точности);

современные тенденции в развитии методов численного решения математических и прикладных задач;

уметь: 

оценить корректность постановки задачи;

выбрать адекватный метод для численного решения поставленной задачи;

использовать численные методы для решения математических задач алгебры, анализа и дифференциальных уравнений;

анализировать достоверность и трактовать численные результаты;

владеть:

навыками работы с современными программными средствами численного решения математических и прикладных задач;

навыками программирования численных алгоритмов;

основными приемами априорной и апостериорной оценки погрешности численного решения задач алгебры и анализа.

As a result of mastering the academic discipline, the student must:

know:

– sources of error in numerical results;

– concepts of stability, convergence and computational complexity of numerical algorithms;

– requirements for the correctness of the problem statement;

– basic techniques for assessing the error of numerical methods;

– the purpose and computational qualities of the most popular numerical interpolation methods (Lagrange and Newton formulas, the method of best approximation in the root mean square norm), approximate integration (Trapezoidal and Simpson formulas, Gauss-type methods of the highest algebraic degree of accuracy);

– advantages and disadvantages of explicit and implicit numerical methods for solving differential equations;

– modern trends in the development of methods for numerical solution of mathematical and applied problems;

can:

– evaluate the correctness of the problem statement;

– choose an adequate method for numerical solution of the problem;

– use numerical methods to solve mathematical problems of algebra, analysis and differential equations;

– analyze the reliability and interpret numerical results;

be able to:

– skills of working with modern software for numerical solution of mathematical and applied problems;

– skills in programming numerical algorithms;

– basic techniques for a priori and a posteriori error estimation in numerical solutions of algebra and analysis problems.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

5

5

Пререквизиты / Prerequisites

– Алгебра и теория чисел,

– Математический анализ,

– Функциональный анализ,

– Дифференциальные уравнения,

– Уравнения математической физики.

– Algebra and number theory,

– Mathematical analysis,

– Functional analysis,

– Differential equations,

– Equations of mathematical physics.

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3 зачетные единицы.

3 credit units.

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work,

hours of self-directed learning

Всего 90 часов, из них 54 аудиторных часа и 36 часов самостоятельной работы.

A total of 90 hours, of which 54 academic hours of students’ class work and 36 hours of self-directed learning.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Опрос, письменный отчет с устной защитой по лабораторной работе, письменный отчет с устной защитой по домашнему заданию, коллоквиум, контрольная работа.

Зачет.

Survey, written report with oral defense on laboratory work, written report with oral defense on homework, colloquium, verification work.

End-of-term tests.