Алгебра и теория чисел

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Арифметика целых чисел. Сравнения. Делимость целых чисел и ее свойства. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Простые числа. Основная теорема арифметики. Сравнения и их свойства. Классы вычетов. Функция Эйлера. Решение линейных сравнений от одной неизвестной. Китайская теорема об остатках.

Алгебраическая операция, основные алгебраические структуры. Понятие и свойства алгебраической операции. Определения группы, кольца, поля. Примеры. Кольцо классов вычетов.

Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы.

Матрицы и операции над ними. Понятие матрицы. Операции над матрицами: сложение и умножение матриц, умножение матрицы на скаляр, транспонирование. Свойства операций над матрицами. Многочлен от матрицы. 

Перестановки и подстановки. Перестановки и подстановки. Инверсии и порядки в перестановке, четность перестановки. Транспозиции и циклы. Разложение подстановки в произведение независимых циклов и произведение транспозиций, четность подстановки. Умножение подстановок и его свойства, симметрическая и знакопеременная группа.

Определители и их применение. Определитель квадратной матрицы произвольного порядка и его свойства. Определитель транспонированной матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Определитель Вандермонда. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица. Полная линейная группа. Теорема Крамера. 

Многочлены от одной и нескольких переменных. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена и ее свойства. Теорема о делении с остатком для многочленов. Наибольший общий делитель многочленов, алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены. Неприводимые многочлены. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители. Теорема Безу и следствия из нее. Схема Горнера. Производная многочлена и ее свойства. Кратность корня многочлена. Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена над полями комплексных и вещественных чисел. Многочлены от многих переменных. Симметрические многочлены.

Arithmetic of integers. Congruence of integers. Divisibility of integers and its properties. The greatest common divisor. Euclid’s algorithm. Prime numbers. Fundamental theorem of arithmetic. Congruences and their properties. Residue class classes. Euler function. Solving linear congruences in one variable. Chinese remainder theorem.

Algebraic operation, basic algebraic structures. The concept and properties of an algebraic operation. Definitions of a group, ring, field. Examples. Residue class ring.

The field of complex numbers. Algebraic form of complex numbers. Trigonometric form of complex numbers. Moivre’s formula. Extracting the root of a complex number. Roots of unity.

Matrices and operations on them. The concept of a matrix. Operations on matrices: addition and multiplication of matrices, multiplication of a matrix by a scalar, transposition. Properties of operations on matrices. Polynomial from a matrix.

Permutations and substitutions. Permutations and substitutions. Inversions and orders in a permutation, parity of a permutation. Transpositions and cycles. Decomposition of a permutation into a product of independent cycles and a product of transpositions, parity of the substitution. Multiplication of substitutions and its properties, symmetric and alternating groups.

Determinants and their application. Determinant of a square matrix of arbitrary order and its properties. Determinant of a transposed matrix. Minors and algebraic complements. Laplace’s theorem. Vandermonde determinant. Determinant of the product of square matrices. Inverse matrix. General linear group. Cramer’s theorem

Polynomials in one and several variables. A ring of polynomials in one variable over a field. The degree of a polynomial and its properties. Dividing polynomials with remainder. The greatest common divisor of polynomials, Euclidean algorithm. Coprime polynomials. Irreducible polynomials. Theorem on the decomposition of a polynomial into irreducible factors. Bezout’s theorem and corollaries from it. Horner’s scheme. Derivative of a polynomial and its properties. Multiplicity of the root of a polynomial. Fundamental theorem of algebra. Canonical decomposition of a polynomial over fields of complex and real numbers. Polynomials in many variables. Symmetric polynomials.

Формируемые компетенции / The formed competences

Специализированная компетенция:

применять основные алгебраические, геометрические и топологические понятия, конструкции и методы для решения теоретических и прикладных математических задач.

Specialized competence:

apply basic algebraic, geometric and topological concepts, constructions and methods to solve theoretical and applied mathematical problems.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате освоения учебной дисциплины студент должен

знать:

• основные понятия и результаты линейной алгебры, теории билинейных и квадратичных форм, теории групп, колец и полей;
•  методы доказательств важнейших результатов, изучаемых в рамках учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел»;
•  алгоритмы решения задач по алгебре;

уметь:

•  выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра;
•  вычислять определители;
•  выполнять операции над матрицами;
•  решать системы линейных уравнений;

владеть:

•  основными навыками решения задач, связанных с линейной алгеброй, многочленами, комплексными числами;
•  методами доказательств основных теорем, встречающихся в курсе «Алгебра и теория чисел».
•  навыками самообразования и способами использования аппарата алгебры и теории чисел для проведения математических и междисциплинарных исследований.

As a result of mastering the academic discipline, the student must

know:

– basic concepts and results of linear algebra, the theory of bilinear and quadratic forms, the theory of groups, rings and fields;

– methods of proving the most important results studied within the academic discipline “Algebra and Number Theory”;

– algorithms for solving problems in algebra;

can:

– perform operations with complex numbers in algebraic and trigonometric form, extract roots from complex numbers, apply Moivre’s formula;

– calculate determinants;

– perform operations on matrices;

– solve systems of linear equations;

be able to apply:

– basic problem solving skills involving linear algebra, polynomials, complex numbers;

– methods of proof of the main theorems found in the course “Algebra and Number Theory”.

– self-education skills and ways to use the apparatus of algebra and number theory to conduct mathematical and interdisciplinary research.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

1

1

Пререквизиты / Prerequisites

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3 зачетные единицы.

3 credit units.

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work, 

hours of self-directed learning

Всего 108 часов, из них 72 аудиторных часа и 36 часов самостоятельной работы.

A total of 108 hours, of which 72 academic hours of students’ class work and 36 hours of self-directed learning.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Устный опрос, контрольная работа, коллоквиум.

Зачет. Экзамен.

Oral survey, verification work, colloquium.

End-of-term tests. Exam.