Введение в специальность ( введение в математику)

1.       

Название дисциплины

Введение в математику

2.       

Курс обучения

специальность

3, специальность Математика (экономическая деятельность)

3.       

Семестр обучения

1

4.       

Количество кредитов

2

5.       

Ф.И.О. лектора

Забрейко Петр Петрович

6.       

Цели изучения дисциплины

1)    знакомство студентов, начинающих свое математическое образование, с языком высшей математики, терминологией и общими математическими конструкциями, лежащими в основе различных математических дисциплин;

2)    изложение элементов математической  логики и основных методов,  используемых при доказательствах математических утверждений;

3)    демонстрация аксиоматического метода построения математических теорий на примере аксиоматик натуральных чисел и евклидовой планиметрии;

4)    изложение элементов комбинаторики, используемых в различных дисциплинах, в частности, в курсах «Математический анализ» и «Алгебра и теория чисел»

В результате изучения дисциплины «Введение в математику» студент должен:

   уметь:

– использовать основные объекты теории множеств и отображений и их свойства;

– проводить строгие доказательства математических утверждений, используя логические операции и законы;

–  решать простейшие комбинаторные задачи

7.       

Пререквизиты

элементарная школьная математика

8.       

Содержание дисциплины

Введение.Особенности математики как науки. Ее содержание и методы исследований. Элементы математической логики. Математические высказывания. Логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Логические законы. Субъекты, предикаты и высказывательные формы. Антиномии «наивной» теории множеств. Пустое множество, универсальное множество. Начала аксиоматики Цермело – Френкеля теории множеств. Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание. До-полнение множества. Декартово произведение множеств. Бинарные отношения. Свойства рефлексивности, симметричности, анти-симметричности, транзитивности бинарных отношений. Отношение эквивалентности, классы эквивалентных элементов, фактормножество. Отображения. Понятие функции (отображения). Терминология и примеры. Понятия семейства, последовательности, уравнения. Образы и прообразы элементов и подмножеств. Композиция отображений (сложная функция), свойство ассоциативности композиции отображений. Инъективные, сюръективные, биективные отображения. Обратное отображение, односторонние обратные отображения. Декартово произведение семейства множеств. Бинарные алгебраические операции как отображения. Элементы комбинаторики

Правила суммы и произведения в комбинаторике. Сочетания и перестановки. Бином Ньютона. Правило включений и исключений в комбинаторике и его приложения.

Натуральные, целые и рациональные числа

Аксиоматика Пеано натуральных чисел. Определение сложения, умножения натуральных чисел и естественного порядка в множестве натуральных чисел. Расширенный натуральный ряд. Системы счисления.

Аксиоматика евклидовой планиметрии

Первичные понятия и первичные отношения в аксиоматике Гильберта евклидовой плоскости. Аксиомы связи и параллельности. Аксиомы порядка и следствия из них. Аксиомы конгруэнтности отрезков и углов. Измерение отрезков и углов. Построение биекции между множеством точек прямой и множеством вещественных чисел. Мощности и порядки

 Сравнение множеств по их мощностям, теорема Кантора – Бернштейна. Счетные множества: примеры и основные свойства. Множества мощности континуума. Континуум-проблема. Упорядоченные множества: частичный, линейный и полный порядок

9.       

Рекомендуемая литература

1. Кононов С.Г., Тышкевич Р.И., Янчевский В.И. Введение в математику: учебное пособие. – Минск: БГУ, 2003 – Ч. 1-3.

Дополнительная  литература

1. Вольвачев Р.Т. Элементы математической логики и теории множеств: учебное пособие.– Минск: Университетское, 1986. – 112 с.

2. Виленкин Н. Я.  Рассказы о множествах. М.: Наука, 1969. (3-е издание, МЦМНО, 2005).– 150 с.

3. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М. Мир, 1970.– 416 с.

4. Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М. Мир, 1969. – 347 с.

10.   

Методы преподавания

Лекции, практические занятия, УИРС

11.   

Язык обучения

Русский

12.   

Условия (требования), текущий контроль

контрольные работы

13.   

Форма аттестации

зачет