Дополнительные главы алгебры

Название дисциплины

Курс обучения, специальность

Математика (научно-производственная деятельность)

Семестр обучения

Количество кредитов

Ф.И.О лектора

Беняш-Кривец В.В.

Цели изучения дисциплины

Обучение студентов фундаментальным методам общей алгебры, знакомство с основными алгебраическими структурами — группами, кольцами и полями; создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики; формирование у студентов основ математического мышления; знакомство с методами математических доказательств; изучение алгоритмов решения конкретных математических задач; привитие студентам умения самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.

В результате изучения учебной дисциплины студент должен уметь:

– определять, является ли данное подмножество подгруппой в группе, подкольцом или идеалом в кольце, подполем в поле;

– производить вычисления в факторгруппе, факторкольце;

– строить конечные поля заданного порядка и производить вычисления в них;

– применять важнейшие теоретические результаты к решению вычислительных задач, связанных с группами, кольцами и полями.

Пререквизиты

Содержание дисциплины

Введение в теорию групп.

Определение группы, подгруппы, примеры.

Гомоморфизм, изоморфизм, автоморфизм. Порядок элемента.

Порождающие множества. Циклические группы, их классификация.

Смежные классы по подгруппе, индекс подгруппы. Теорема Лагранжа, разложение Лагранжа, следствие о порядке элемента.

Нормальная подгруппа. Факторгруппа.

Ядро и образ гомоморфизма. Первая (основная) теорема о гомоморфизмах, ее применение к вычислению факторгруппы.

Связь подгрупп факторгруппы и промежуточных подгрупп. Вторая и третья теоремы о гомоморфизмах.

Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение своих подгрупп. Свободные абелевы группы.

Теорема о строении конечно порожденной абелевой группы. Центр и коммутант. Критерий абелевости факторгруппы.

Введение в теорию колец.

Определение кольца, подкольца, поля, подполя, примеры. Мультипликативная группа кольца.

Гомоморфизм, изоморфизм колец, ядро гомоморфизма. Идеалы колец. Факторкольца.

Основная теорема о гомоморфизмах для колец. Главные идеалы. Кольца главных идеалов. Идеалы в и .

Максимальные идеалы и соответствующие им факторкольца. Внутреннее и внешнее прямое произведение колец. Строение кольца и арифметические следствия.

Введение в теорию полей

Характеристика поля. Простые поля. Степень расширения, конечные расширения. Мультипликативность степени.

Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Алгебраические расширения, алгебраичность конечного расширения.

Простые расширения полей. Алгебраически замкнутые поля, алгебраическое замыкание. Поле частных кольца без делителей нуля.

Число элементов конечного поля. Теорема о существовании и единственности поля, содержащего элементов. Подполя конечного поля. Мультипликативная группа конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем.

Рекомендуемая литература

1. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 1. Введение в алгебру. Минск: БГПУ, 2005.

2. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 2. Линейная алгебра. Минск: БГПУ, 2006.

3. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачев М.М., Феденко А.С. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Мн.: Университетское, 1999.

4. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал—пресс, 2001.

5. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1976.

6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 1998.

7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т. 1—3. М.: Физ.—мат. литература, 2000—2001.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965 (и более поздние издания).

9. Мальцев И.М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

10. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 1. Мн.: Амалфея, 2001.

11. Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 2. Мн.: Амалфея, 2001.

12. Монахов В.С., Бузланов А.В. Алгебра и теория чисел: практикум. Минск: Изд. центр БГУ, 2007.

13. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.

14. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

15. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

Дополнительная литература:

1. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.

2. Бейкер А. Введение в теорию чисел. Мн.: Вышэйшая школа, 1995.

3. Ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1976.

4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

5. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1983.

6. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

7. Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М.: Наука, 1987.

Методы преподавания

Словесный, наглядный, проблемный, практический, диалогово-эвристический.

Язык обучения

Русский

Условия (требования), текущий контроль

— проверка индивидуальных заданий,

— коллоквиум,

— контрольная работа.

Форма текущей аттестации

Зачет

Дадатковыя главы алгебры