Численные методы

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Одношаговые методы. Метод Эйлера. Оценка скорости сходимости. Методы Рунге-Кутты. Многошаговые методы. Устойчивость, условие корней. Метод Адамса. Понятие о жестких системах ОДУ. А-устойчивость. Метод Гира.

Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Разностный метод решения краевой задачи для уравнения второго порядка. Методы построения разностных схем. Интегро-интерполяционный метод. Понятие о компактных разностных схемах. Метод Галеркина. Аппроксимация и сходимость. Оценка погрешности линейных разностных схем. Разностные методы решения краевых задач для нелинейных ОДУ. Методы редукции краевых задач к задачам Коши. Методы дифференциальной прогонки и метод стрельбы.

Численное решение интегральных уравнений Фредгольма. Основные подходы к решению интегральных уравнений. Метод Фурье для численного решения интегральных уравнений типа свертки.

Построение и исследование разностных схем для задач математической физики. Разностные схемы для уравнения теплопроводности. Канонический вид и условие устойчивости двухслойных разностных схем. Устойчивость, аппроксимация и сходимость. Разностные схемы для уравнения переноса. Спектральный критерий устойчивости. Разностные схемы для эллиптических уравнений. Принцип максимума. Обзорные занятия по теме «Методы численного решения дифференциальных уравнений». Реализация разностных схем. Метод переменных направлений и метод дробных шагов.

Numerical solution of the Cauchy problem for ordinary differential equations. One-step methods. Euler’s method. Estimation of the speed of convergence. Runge-Kutta methods. Multi-step methods. Stability, root conditions. Adams method. The concept of rigid systems of ordinary differential equations. A-sustainability. Geer’s method.

Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations. Difference method for solving a boundary value problem for a second order equation. Methods for constructing difference schemes. Integro-interpolation method. The concept of compact difference schemes. Galerkin method. Approximation and convergence. Error estimation of linear difference schemes. Difference methods for solving boundary value problems for nonlinear ordinary differential equations. Methods for reducing boundary value problems to Cauchy problems. Differential sweep methods and shooting method.

Numerical solution of Fredholm integral equations. Basic approaches to solving integral equations. Fourier method for numerical solution of integral equations of convolution type.

Construction and study of difference schemes for problems of mathematical physics. Difference schemes for the heat equation. Canonical form and stability condition for two-layer difference schemes. Stability, approximation and convergence. Difference schemes for the transport equation. Spectral stability criterion. Difference schemes for elliptic equations. Maximum principle. Review lessons on the topic “Methods for numerical solution of differential equations.” Implementation of difference schemes. Alternating Direction Method and Fractional Step Method.

Формируемые компетенции / The formed competences

Специализированная компетенция:

осуществлять обоснованный выбор рациональной численной методики для решения типовых задач механики, проводить ее реализацию с использованием современных программных средств компьютерных вычислений, оценивать корректность полученных результатов и анализировать возможности альтернативных подходов

Specialized competence:

make a well-founded choice of a rational numerical method for solving typical problems of mechanics, carry out its implementation using modern computer software, evaluate the correctness of the results obtained and analyze the possibilities of alternative approaches.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате освоения учебной дисциплины студент должен

знать:

источники погрешности численных результатов;

понятия устойчивости, сходимости и вычислительной сложности численных алгоритмов;

требования корректности постановки задачи;

основные приемы оценки погрешности численных методов;

назначение и вычислительные качества наиболее популярных численных методов дифференциальных уравнений (метод Гаусса, LU-факторизация, итерационные методы Ричардсона, Якоби, Зейделя, последовательной верхней релаксации, минимальных невязок, сопряженных градиентов, методы Рунге-Кутты и Адамса, метод стрельбы, быстрое дискретное преобразование Фурье);    

 достоинства и недостатки явных и неявных численных методов решения дифференциальных уравнений;

современные тенденции в развитии методов численного решения математических и прикладных задач;

уметь: 

оценить корректность постановки задачи;

выбрать адекватный метод для численного решения поставленной задачи;

использовать численные методы для решения математических задач алгебры, анализа и дифференциальных уравнений;

анализировать достоверность и трактовать численные результаты;

владеть:

навыками работы с современными программными средствами численного решения математических и прикладных задач;

навыками программирования численных алгоритмов;

основными приемами априорной и апостериорной оценки погрешности численного решения задач алгебры и анализа.

As a result of mastering the academic discipline, the student must

know:

– sources of error in numerical results;

– concepts of stability, convergence and computational complexity of numerical algorithms;

– requirements for the correctness of the problem statement;

– basic techniques for assessing the error of numerical methods;

– the purpose and computational qualities of the most popular numerical methods of differential equations (Gauss method , LU factorization, iterative methods of Richardson, Jacobi, Seidel, sequential upper relaxation, minimal residuals, conjugate gradients, Runge-Kutta and Adams methods, shooting method, fast discrete Fourier transform);

– advantages and disadvantages of explicit and implicit numerical methods for solving differential equations;

– modern trends in the development of methods for numerical solution of mathematical and applied problems;

can:

– evaluate the correctness of the problem statement;

– choose an adequate method for numerical solution of the problem;

– use numerical methods to solve mathematical problems of algebra, analysis and differential equations;

– analyze the reliability and interpret numerical results;

be able to:

– skills of working with modern software for numerical solution of mathematical and applied problems;

– skills in programming numerical algorithms;

– basic techniques for a priori and a posteriori error estimation in numerical solutions of algebra and analysis problems.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

7

7

Пререквизиты / Prerequisites

– Компьютерная математика,

– Алгебра и теория чисел,

– Математический анализ,

– Функциональный анализ,

– Дифференциальные уравнения,

– Уравнения математической физики.

– Modern computer modeling systems,

– Algebra and number theory,

– Mathematical analysis,

– Functional analysis,

– Differential equations,

– Equations of mathematical physics.

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3 зачетные единицы.

3 credit units.

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work,

hours of self-directed learning

Всего 90 часов, из них 36 аудиторных часов и 54 часа самостоятельной работы.

A total of 90 hours, of which 36 academic hours of students’ class work and 54 hours of self-directed learning/

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Опрос, письменный отчет с устной защитой по лабораторной работе, письменный отчет с устной защитой по домашнему заданию, письменный отчет с устной защитой по решению задач и упражнений, контрольная работа.

Экзамен.

Survey, written report with oral defense on laboratory work, written report with oral defense on homework, written report with oral defense on solving problems and exercises, verification work.

Exam.