Численные методы

Краткое содержание учебной дисциплины, модуля / Brief summary

Численные методы решения систем ЛАУ. Нормы векторов и матриц. Оценка погрешности решения систем ЛАУ. Число обусловленности. Прямые методы. Метод Гаусса. Выбор ведущего элемента. LU факторизация. Разложение Холецкого. Метод прогонки и ортогонализации. Итерационные методы решения систем ЛАУ. Метод простой итерации. Сходимость итерационных методов. Оценка числа итераций. Выбор оптимального параметра. Неявные итерационные методы. Понятие о переобуславливателе. Методы Якоби, Зейделя, Последовательной верхней релаксации. Методы наискорейшего спуска и сопряженных градиентов.

Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. Свойства собственных векторов и собственных значений матриц. Преобразование подобия. Каноническая форма Фробениуса. Метод Данилевского. Степенной метод нахождения максимальных по модулю собственных значений. Метод вращений. Понятие о QR алгоритме.

Решение нелинейных уравнений и систем. Отделение корней. Метод дихотомии.  Кратные корни. Корни полиномов. Метод простой итерации. Условие сходимости и скорость сходимости. Метод Ньютона. Квадратичная сходимость. Модификации метода Ньютона. Понятие о методах нелинейной оптимизации. Градиентные методы. Обзорные занятия по теме «Численные методы линейной алгебры и методы решения нелинейных уравнений».

Numerical methods for solving LEA systems. Norms of vectors and matrices. Estimation of the error in solving LAU systems. Condition number. Direct methods. Gauss method. Selecting a leading element. LU factorization. Cholesky decomposition. Method of sweeping and orthogonalization. Iterative methods for solving LEA systems. Simple iteration method. Convergence of iterative methods. Estimation of the number of iterations. Selecting the optimal parameter. Implicit iterative methods. The concept of a preconditioner. Jacobi, Seidel, Sequential upper relaxation methods. Steepest descent and conjugate gradient methods.

Calculation of eigenvalues and eigenvectors of matrices. Properties of eigenvectors and eigenvalues of matrices. Similarity transformation. Canonical Frobenius form. Danilevsky’s method. Power method for finding the maximum modulo eigenvalues. Rotation method. Concept of QR algorithm.

Solving nonlinear equations and systems. Root separation. Dichotomy method.  Multiple roots. Roots of polynomials. Simple iteration method. Condition of convergence and speed of convergence. Newton’s method. Quadratic convergence. Modifications of Newton’s method. The concept of nonlinear optimization methods. Gradient methods. Review classes on the topic “Numerical methods of linear algebra and methods for solving nonlinear equations.”

Формируемые компетенции / The formed competences

Специализированная компетенция:

осуществлять обоснованный выбор рациональной численной методики для решения типовых математических задач, проводить ее реализацию с использованием современных программных средств компьютерных вычислений, оценивать корректность полученных результатов и анализировать возможности альтернативных подходов.

Specialized competence:

make a reasonable choice of a rational numerical technique for solving standard mathematical problems, carry out its implementation using modern computer software, evaluate the correctness of the results obtained and analyze the possibilities of alternative approaches.

Результаты обучения (знать, уметь, владеть) / Learning outcomes (know, can, be able)

В результате освоения учебной дисциплины студент должен

знать:

источники погрешности численных результатов;

понятия устойчивости, сходимости и вычислительной сложности численных алгоритмов;

требования корректности постановки задачи;

основные приемы оценки погрешности численных методов;

назначение и вычислительные качества наиболее популярных численных методов интерполирования (формулы Лагранжа и Ньютона, метод наилучшего приближения в среднеквадратичной норме), приближенного интегрирования (формулы трапеций и Симпсона, методы типа Гаусса наивысшей алгебраической степени точности);

современные тенденции в развитии методов численного решения математических и прикладных задач;

уметь: 

оценить корректность постановки задачи;

выбрать адекватный метод для численного решения поставленной задачи;

использовать численные методы для решения математических задач алгебры, анализа и дифференциальных уравнений;

анализировать достоверность и трактовать численные результаты;

владеть:

навыками работы с современными программными средствами численного решения математических и прикладных задач;

навыками программирования численных алгоритмов;

основными приемами априорной и апостериорной оценки погрешности численного решения задач алгебры и анализа.

As a result of mastering the academic discipline, the student must:

know:

– sources of error in numerical results;

– concepts of stability, convergence and computational complexity of numerical algorithms;

– requirements for the correctness of the problem statement;

– basic techniques for assessing the error of numerical methods;

– the purpose and computational qualities of the most popular numerical interpolation methods (Lagrange and Newton formulas, the method of best approximation in the root mean square norm), approximate integration (Trapezoidal and Simpson formulas, Gauss-type methods of the highest algebraic degree of accuracy);

– advantages and disadvantages of explicit and implicit numerical methods for solving differential equations;

– modern trends in the development of methods for numerical solution of mathematical and applied problems;

can:

– evaluate the correctness of the problem statement;

– choose an adequate method for numerical solution of the problem;

– use numerical methods to solve mathematical problems of algebra, analysis and differential equations;

– analyze the reliability and interpret numerical results;

be able to:

– skills of working with modern software for numerical solution of mathematical and applied problems;

– skills in programming numerical algorithms;

– basic techniques for a priori and a posteriori error estimation in numerical solutions of algebra and analysis problems.

Семестр изучения учебной дисциплины, модуля / Semester of study

6

6

Пререквизиты / Prerequisites

– Алгебра и теория чисел,

– Математический анализ,

– Функциональный анализ,

– Дифференциальные уравнения,

– Уравнения математической физики.

– Algebra and number theory,

– Mathematical analysis,

– Functional analysis,

– Differential equations,

– Equations of mathematical physics.

Трудоемкость в зачетных единицах (кредитах) / Credit units

3 зачетные единицы.

3 credit units.

Количество аудиторных часов и часов самостоятельной работы / Academic hour of students’ class work,

hours of self-directed learning

Всего 90 часов, из них 50 аудиторных часа и 40 часов самостоятельной работы.

A total of 90 hours, of which 50 academic hours of students’ class work and 40 hours of self-directed learning.

Требования и формы текущей и промежуточной аттестации / Requirements and forms of current and interim certification

Опрос, письменный отчет с устной защитой по лабораторной работе, письменный отчет с устной защитой по домашнему заданию, письменный отчет с устной защитой по решению задач и упражнений, контрольная работа.

Зачет.

Survey, written report with oral defense on laboratory work, written report with oral defense on homework, written report with oral defense on solving problems and exercises, verification work.

End-of-term tests.