Функциональный анализ

1.       

Название дисциплины

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

2.       

Курс обучения

3, специальность Математика (научно-педагогическая  деятельность)

3.       

Семестр обучения

5

4.       

Количество кредитов

3

5.       

Ф.И.О. лектора

Мазель Майя Хаймовна

6.       

Цели изучения дисциплины

освоение студентами языка современной математики, владение общими конструкциями и умение их применять в теоретических и прикладных задачах.

В результате изучения студент должен уметь:

уметь:

–                    выявлять конструкции функционального анализа в конкретных задачах;

–                    устанавливать свойства отображений в функциональных пространствах;

применять результаты функционального анализа для решения теоретических и прикладных задач

7.       

Пререквизиты

Теория вероятностей, Математическая статистика, Уравнения математической физики, Методы оптимизации, Экстремальные задачи и вариационное исчисление, Численные методы

8.       

Содержание дисциплины

Тема 1.           Мера Лебега. Системы множеств. Кольца множеств, полукольца, алгебры, сигма-кольца и сигма-алгебры, борелевские множества. Общее понятие меры. Сигма-аддитивная мера. Продолжение меры по Лебегу. Внешняя мера, измеримые множества, множества меры нуль, основная теорема теории меры. Мера Лебега на прямой. Мера Лебега-Стилтьеса.

Тема 2.           Интеграл Лебега. Измеримые функции, простые функции, инте-грал от простой функции, интеграл от измеримой функции, простейшие свойства интеграла Лебега, предельный переход под знаком интеграла Лебега. Произведение мер, теорема Фубини.  

Тема 3.           Метрические пространства. Определение и основные примеры функциональных метрических пространств. Топология метрических про-странств. Полные метрические пространства. Пополнение метрических пространств. Компактные метрические пространства.

Тема 4.           Непрерывные, равномерно непрерывные и липшицевы отоб-ражения. Определения и свойства. Теорема о продолжении. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям.

9.       

Рекомендуемая литература

Основная литература:

1. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. 2-е изд., перераб. и доп. Минск, Изд-во БГУ, 2006.

2. Антоневич А.Б., Мазель М.Х., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Учебное пособие. Минск, Изд-во БГУ, 2011.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио-нального анализа. М., Физматлит, 2004.

4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., Высшая школа, 1982.

5. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Физматлит, 2002.

Дополнительная литература:

1. Березанский Ю.М., Ус Г.Ю., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев, Выща школа, 1990.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. СПб., Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2002.

3. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М., Наука, 1979.

4. Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Минск, Вышэйшая школа, 1978.

10.   

Методы преподавания

Лекции, практические занятия, УИРС

11.   

Язык обучения

Русский

12.   

Условия (требования), текущий контроль

— контрольная работа;

— коллоквиум

13.   

Форма аттестации

 зачет