Алгебра и теория чисел (ч. 1)

Название дисциплины

Курс обучения, специальность

1,Математика (научно-производственная деятельность)

Семестр обучения

Количество кредитов

Ф.И.О лектора

Тихонов С.В.

Цели изучения дисциплины

Обучение студентов фундаментальным методам общей алгебры, линейной алгебры, теории чисел; знакомство с основными алгебраическими структурами — группами, кольцами и полями; создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики; формирование у студентов основ математического мышления; знакомство с методами математических доказательств; изучение алгоритмов решения конкретных математических задач; привитие студентам умения самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.

В результате изучения учебной дисциплины студент должен уметь:

– выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра;

– вычислять определители;

– выполнять операции над матрицами;

– решать системы линейных уравнений;

– находить базис векторного пространства, суммы и пересечения подпространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и системы векторов;

– находить собственные значения и собственные векторы матрицы и линейного оператора;

– приводить квадратичную форму к каноническому виду;

– приводить ортогональный оператор к каноническому виду;

– находить ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству;

– определять, является ли данное подмножество подгруппой в группе, подкольцом или идеалом в кольце, подполем в поле;

– производить вычисления в факторгруппе, факторкольце;

Пререквизиты

Содержание дисциплины

Арифметика целых чисел. Сравнения

Делимость целых чисел и ее свойства. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида и запись НОД в виде целочисленной линейной комбинации.

Взаимно простые числа, критерий взаимной простоты. Наименьшее общее кратное. Простые и составные числа, бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики. Сравнения и их свойства.

Классы вычетов. Операции над классами вычетов.

Теоретико-числовая функция Эйлера, ее мультипликативность. Теоремы Эйлера и Ферма. Решение линейных сравнений от одной неизвестной. Китайская теорема об остатках.

Алгебраическая операция, основные алгебраические структуры

Алгебраическая операция. Свойства алгебраической операции: коммутативность и ассоциативность. Нейтральный элемент и симметричные элементы множества относительно алгебраической операции. Теоремы о единственности нейтрального элемента и о единственности симметричного элемента относительно ассоциативной алгебраической операции.

Определения группы, кольца, поля. Примеры. Кольцо классов вычетов. Обратимые классы вычетов. Конечные поля .

Поле комплексных чисел

Определение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра и ее применение в вещественных вычислениях.

Геометрическая интерпретация действий с комплексными числами. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы.

Матрицы и операции над ними

Понятие матрицы размера . Виды матриц: квадратная матрица, диагональная матрица, верхняя и нижняя треугольная матрица, единичная матрица, нулевая матрица, вектор-строка, вектор-столбец. Равенство матриц.

Операции над матрицами: сложение и умножение матриц, умножение матрицы на скаляр, транспонирование. Свойства операций над матрицами. Многочлен от матрицы.

Перестановки и подстановки

Определение перестановок и подстановок, их число. Инверсии и порядки, четность перестановки. Транспозиции и циклы. Умножение подстановок и его свойства, симметрическая группа.

Разложение подстановки в произведение независимых циклов и транспозиций. Четность подстановки.

Определители и их применение

Определители второго и третьего порядков. Определитель квадратной матрицы произвольного порядка и его свойства. Определитель транспонированной матрицы.

Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по строке и столбцу. Определитель треугольной матрицы. Определитель Вандермонда. Определитель произведения квадратных матриц.

Обратная матрица: критерий существования и методы вычисления. Полная линейная группа. Теорема Крамера.

Многочлены от одной и нескольких переменных

Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена и ее свойства. Теорема о делении с остатком для многочленов. Наибольший общий делитель многочленов, алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены. Неприводимые многочлены. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители.

Значение многочлена в точке, корень многочлена. Теорема Безу и следствия из нее. Схема Горнера. Производная многочлена и ее свойства. Кратность корня многочлена. Основная теорема алгебры.

Каноническое разложение многочлена над полями комплексных и вещественных чисел. Многочлены от переменных. Симметрические многочлены.

Рекомендуемая литература

1. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 1. Мн.: Амалфея, 2001.

2. Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 2. Мн.: Амалфея, 2001.

3. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачев М.М., Феденко А.С. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Мн.: Университетское, 1999.

4. Монахов В.С., Бузланов А.В. Алгебра и теория чисел: практикум. Минск: Изд. центр БГУ, 2007.

5. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.

6. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

7. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 1. Введение в алгебру. Минск: БГПУ, 2005.

8. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 2. Линейная алгебра. Минск: БГПУ, 2006.

9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т. 1—3. М.: Физ.—мат. литература, 2000-2001.

10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 1998.

11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965 (и более поздние издания).

12. Мальцев И.М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

13. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

14. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал—пресс, 2001.

15. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1976.

Дополнительная литература

16. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.

17. Ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1976.

18. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1983.

19. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

20. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

21. Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М.: Наука, 1987.

Методы преподавания

Словесный, наглядный, проблемный, практический, диалогово-эвристический.

Язык обучения

Русский

Условия (требования), текущий контроль

— проверка индивидуальных заданий,

— коллоквиум,

— контрольная работа.

Оценка на экзамене выставляется с учетом:

40% — работа в семестре,

60% — устный ответ на экзамене.

Форма текущей аттестации

Экзамен, зачет

Алгебра i тэорыя лiкаў