Алгебра (ч. 1)

1

Название дисциплины

Алгебра (ч. 1)

2

Курс обучения, специальность

1,

Математика (научно-конструкторская деятельность)

3

Семестр обучения

1

4

Количество кредитов

4

5

Ф.И.О лектора

Бондаренко А.А.

6

Цели изучения дисциплины

Обучение студентов фундаментальным методам общей алгебры, линейной алгебры, теории чисел; знакомство с основными алгебраическими структурами — группами, кольцами и полями; создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики; формирование у студентов основ математического мышления; знакомство с методами математических доказательств; изучение алгоритмов решения конкретных математических задач; привитие студентам умения самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.

В результате изучения учебной дисциплины студент должен уметь:

– выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра;

–  вычислять определители;

–  выполнять операции над матрицами;

–  решать системы линейных уравнений;

–  находить базис векторного пространства, суммы и пересечения подпространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и системы векторов;

–  находить собственные значения и собственные векторы матрицы и линейного оператора;

–  приводить квадратичную форму к каноническому виду;

–  приводить ортогональный оператор к каноническому виду;

–  находить  ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству.

7

Пререквизиты

8

Содержание дисциплины

Арифметика целых чисел, комплексные числа

Теорема о делении с остатком для целых чисел. Алгоритм Евклида. Определение комплексных чисел, сопряженные комплексные числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа, формула Муавра, геометрия операций над комплексными числами.

Корни n-ой степени из комплексного числа, корни n-ой степени из единицы, первообразные корни и их свойства.

Матрицы и операции над матрицами

Прямоугольные матрицы, равенство матриц, сложение и умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц.

Умножение матриц, ассоциативность умножения матриц, связь между операциями сложения, умножения и транспонирования матриц.

Перестановки, подстановки. Определители и их применение

Число перестановок конечного множества, четность перестановки, число четных (нечетных) перестановок конечного множества.

Число подстановок конечного множества, четность подстановки, разложение подстановки в произведение независимых циклов. Определение определителя и его свойства.

Теорема Лапласа. Построение обратной матрицы, правило Крамера.

Многочлены от одной переменной

Определение многочлена от одной переменной, равенство многочленов, теорема о делении с остатком, теорема Безу, схема Горнера.

Корни многочленов, кратные корни, рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.

Основная теорема алгебры комплексных чисел, формулы Виета, приводимые многочлены над Q, R и C.

Алгебраическая операция, понятие группы, кольца, поля.

Определения и примеры групп, колец, полей и их свойства.

Определение бинарной алгебраической операции, нейтральный и симметричный элементы.

9

Рекомендуемая литература

1. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 1. Мн.: Амалфея, 2001.
2. Милованов М.В., Толкачев М.М.,  Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 2. Мн.: Амалфея, 2001.
3. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачев М.М., Феденко А.С. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Мн.:  Университетское, 1999.
4. Монахов В.С., Бузланов А.В. Алгебра и теория чисел: практикум. Минск: Изд. центр БГУ, 2007.
5. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.
6. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
7. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 1. Введение в алгебру. Минск: БГПУ, 2005.
8. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 2. Линейная алгебра. Минск: БГПУ, 2006.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т. 1—3. М.: Физ.—мат. литература, 2000-2001.
10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 1998.
11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965 (и более поздние издания).
12. Мальцев И.М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
13. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
14. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал—пресс, 2001.
15. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1976.

Дополнительная литература

1. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
2. Ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1976.
3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1983.
4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.
5. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
6. Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М.: Наука, 1987.

10

Методы преподавания

Словесный, наглядный, проблемный, практический, диалогово-эвристический.

11

Язык обучения

Русский

12

Условия (требования), текущий контроль

— проверка индивидуальных заданий,

— коллоквиум,

— контрольная работа.

Оценка на экзамене выставляется с учетом:

40% — работа в семестре,

60% — устный ответ на экзамене.

13

Форма текущей аттестации

Экзамен, зачет