Алгебра (ч. 2)

Название дисциплины

Алгебра (ч. 2)

Курс обучения, специальность

Математика (научно-конструкторская деятельность).

Семестр обучения

Количество кредитов

Ф.И.О лектора

Бондаренко А.А.

Цели изучения дисциплины

Обучение студентов фундаментальным методам общей алгебры, линейной алгебры, теории чисел; знакомство с основными алгебраическими структурами — группами, кольцами и полями; создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики; формирование у студентов основ математического мышления; знакомство с методами математических доказательств; изучение алгоритмов решения конкретных математических задач; привитие студентам умения самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.

В результате изучения учебной дисциплины студент должен уметь:

– выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра;

– вычислять определители;

– выполнять операции над матрицами;

– решать системы линейных уравнений;

– находить базис векторного пространства, суммы и пересечения подпространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и системы векторов;

– находить собственные значения и собственные векторы матрицы и линейного оператора;

– приводить квадратичную форму к каноническому виду;

– приводить ортогональный оператор к каноническому виду;

– находить ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству.

Пререквизиты

Алгебра (ч. 1)

Содержание дисциплины

Векторные пространства

Определение и примеры. Система образующих, конечномерные пространства. Линейная зависимость векторов.

Базис, размерность. Координаты вектора, их изменение при изменении базиса. Матрица перехода.

Ранг системы векторов. Ранг матрицы. Подпространство, его размерность.

Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Прямая сумма подпространств.

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений, однородные системы. Теорема Кронекера—Капелли. Фундаментальная система решений.

Структура множества решений произвольной системы линейных уравнений.

Линейные операторы векторных пространств

Линейный оператор, его ядро и образ. Ранг и дефект. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы оператора при переходе к другому базису

Алгебраические действия над линейными операторами. Матрица композиции и суммы линейных операторов. Условия обратимости оператора. Инвариантное подпространство. Сужение оператора на инвариантное подпространство.

Матрица оператора при наличии инвариантного подпространства, при разложении пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственное значение и собственный вектор оператора.

Нормальные формы матриц

Характеристический многочлен матрицы. Определение и построение нормальной формы Жордана (без доказательства).

Минимальный многочлен. Критерий диагонализируемости матрицы над полем. Нормальная форма Фробениуса (без доказательства).

Билинейные и квадратичные формы.

Линейные, билинейные и квадратичные формы на векторных пространствах.

Матрица билинейной и квадратичной формы, ее изменение при изменении базиса.

Ортогональность относительно билинейной формы. Разложение в прямую сумму ортогональных подпространств.

Канонический вид. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Нормальный вид вещественной и комплексной квадратичных форм.

Евклидовы и унитарные пространства.

Полуторалинейные функции. Определение евклидова и унитарного пространства. Длина вектора, угол между векторами.

Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Рекомендуемая литература

1. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 1. Мн.: Амалфея, 2001.

2. Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 2. Мн.: Амалфея, 2001.

3. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачев М.М., Феденко А.С. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Мн.: Университетское, 1999.

4. Монахов В.С., Бузланов А.В. Алгебра и теория чисел: практикум. Минск: Изд. центр БГУ, 2007.

5. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.

6. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

7. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 1. Введение в алгебру. Минск: БГПУ, 2005.

8. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 2. Линейная алгебра. Минск: БГПУ, 2006.

9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т. 1—3. М.: Физ.—мат. литература, 2000-2001.

10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 1998.

11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965 (и более поздние издания).

12. Мальцев И.М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

13. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

14. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал—пресс, 2001.

15. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1976.

Дополнительная литература

16. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.

17. Ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1976.

18. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1983.

19. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

20. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

21. Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М.: Наука, 1987.

Методы преподавания

Словесный, наглядный, проблемный, практический, диалогово-эвристический.

Язык обучения

Русский

Условия (требования), текущий контроль

— проверка индивидуальных заданий,

— коллоквиум,

— контрольная работа.

Оценка на экзамене выставляется с учетом:

40% — работа в семестре,

60% — устный ответ на экзамене.

Форма текущей аттестации

Экзамен, зачет

Алгебра