1 семестр

Название дисциплины

Алгебра и теория чисел (ч. 1)

Курс обучения, специальность

1,Математика (экономическая деятельность).

Семестр обучения

Количество кредитов

Ф.И.О лектора

Сафонова И.Н.

Цели изучения дисциплины

Обучение студентов фундаментальным методам общей алгебры, линейной алгебры, теории чисел; знакомство с основными алгебраическими структурами — группами, кольцами и полями; создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики; формирование у студентов основ математического мышления; знакомство с методами математических доказательств; изучение алгоритмов решения конкретных математических задач; привитие студентам умения самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.

В результате изучения учебной дисциплины студент должен уметь:

– выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра;

– вычислять определители;

– выполнять операции над матрицами;

– решать системы линейных уравнений;

– находить базис векторного пространства, суммы и пересечения подпространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и системы векторов;

– находить собственные значения и собственные векторы матрицы и линейного оператора;

– приводить квадратичную форму к каноническому виду;

– приводить ортогональный оператор к каноническому виду;

– находить ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству;

– определять, является ли данное подмножество подгруппой в группе, подкольцом или идеалом в кольце, подполем в поле;

– производить вычисления в факторгруппе, факторкольце;

Пререквизиты

Содержание дисциплины

Арифметика целых чисел. Сравнения

Делимость целых чисел и ее свойства. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида и запись НОД в виде целочисленной линейной комбинации.

Взаимно простые числа, критерий взаимной простоты. Наименьшее общее кратное. Простые и составные числа, бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики. Сравнения и их свойства.

Классы вычетов. Операции над классами вычетов.

Теоретико-числовая функция Эйлера, ее мультипликативность. Теоремы Эйлера и Ферма. Решение линейных сравнений от одной неизвестной. Китайская теорема об остатках.

Алгебраическая операция, основные алгебраические структуры

Алгебраическая операция. Свойства алгебраической операции: коммутативность и ассоциативность. Нейтральный элемент и симметричные элементы множества относительно алгебраической операции. Теоремы о единственности нейтрального элемента и о единственности симметричного элемента относительно ассоциативной алгебраической операции.

Определения группы, кольца, поля. Примеры. Кольцо классов вычетов. Обратимые классы вычетов. Конечные поля .

Поле комплексных чисел

Определение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра и ее применение в вещественных вычислениях.

Геометрическая интерпретация действий с комплексными числами. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы.

Матрицы и операции над ними

Понятие матрицы размера . Виды матриц: квадратная матрица, диагональная матрица, верхняя и нижняя треугольная матрица, единичная матрица, нулевая матрица, вектор-строка, вектор-столбец. Равенство матриц.

Операции над матрицами: сложение и умножение матриц, умножение матрицы на скаляр, транспонирование. Свойства операций над матрицами. Многочлен от матрицы.

Перестановки и подстановки

Определение перестановок и подстановок, их число. Инверсии и порядки, четность перестановки. Транспозиции и циклы. Умножение подстановок и его свойства, симметрическая группа.

Разложение подстановки в произведение независимых циклов и транспозиций. Четность подстановки.

Определители и их применение

Определители второго и третьего порядков. Определитель квадратной матрицы произвольного порядка и его свойства. Определитель транспонированной матрицы.

Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по строке и столбцу. Определитель треугольной матрицы. Определитель Вандермонда. Определитель произведения квадратных матриц.

Обратная матрица: критерий существования и методы вычисления. Полная линейная группа. Теорема Крамера.

Многочлены от одной и нескольких переменных

Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена и ее свойства. Теорема о делении с остатком для многочленов. Наибольший общий делитель многочленов, алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены. Неприводимые многочлены. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители.

Значение многочлена в точке, корень многочлена. Теорема Безу и следствия из нее. Схема Горнера. Производная многочлена и ее свойства. Кратность корня многочлена. Основная теорема алгебры.

Каноническое разложение многочлена над полями комплексных и вещественных чисел. Многочлены от переменных. Симметрические многочлены.

Рекомендуемая литература

1. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 1. Мн.: Амалфея, 2001.

2. Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 2. Мн.: Амалфея, 2001.

3. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачев М.М., Феденко А.С. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Мн.: Университетское, 1999.

4. Монахов В.С., Бузланов А.В. Алгебра и теория чисел: практикум. Минск: Изд. центр БГУ, 2007.

5. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.

6. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

7. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 1. Введение в алгебру. Минск: БГПУ, 2005.

8. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 2. Линейная алгебра. Минск: БГПУ, 2006.

9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т. 1—3. М.: Физ.—мат. литература, 2000-2001.

10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 1998.

11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965 (и более поздние издания).

12. Мальцев И.М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

13. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

14. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал—пресс, 2001.

15. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1976.

Дополнительная литература

16. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.

17. Ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1976.

18. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1983.

19. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

20. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

21. Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М.: Наука, 1987.

Методы преподавания

Словесный, наглядный, проблемный, практический, диалогово-эвристический.

Язык обучения

Русский

Условия (требования), текущий контроль

— проверка индивидуальных заданий,

— коллоквиум,

— контрольная работа.

Оценка на экзамене выставляется с учетом:

40% — работа в семестре,

60% — устный ответ на экзамене.

Форма текущей аттестации

Экзамен, зачет

Алгебра i тэорыя лiкаў

УМК Алгебра и теория чисел