|
1
|
Название дисциплины
|
Алгебра и теория чисел (ч. 3)
|
|
2
|
Курс обучения, специальность
|
2,Математика (экономическая деятельность)
|
|
3
|
Семестр обучения
|
3
|
|
4
|
Количество кредитов
|
4
|
|
5
|
Ф.И.О лектора
|
Воронович И.И. |
|
6
|
Цели изучения дисциплины
|
Обучение студентов фундаментальным методам общей алгебры, линейной алгебры, теории чисел; знакомство с основными алгебраическими структурами — группами, кольцами и полями; создание базы для освоения основных понятий и методов современной математики; формирование у студентов основ математического мышления; знакомство с методами математических доказательств; изучение алгоритмов решения конкретных математических задач; привитие студентам умения самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.
В результате изучения учебной дисциплины студент должен уметь:
– выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать корни из комплексных чисел, применять формулу Муавра;
– вычислять определители;
– выполнять операции над матрицами;
– решать системы линейных уравнений;
– находить базис векторного пространства, суммы и пересечения подпространств, координаты вектора в заданном базисе, находить ранг матрицы и системы векторов;
– находить собственные значения и собственные векторы матрицы и линейного оператора;
– приводить квадратичную форму к каноническому виду;
– приводить ортогональный оператор к каноническому виду;
– находить ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству;
– определять, является ли данное подмножество подгруппой в группе, подкольцом или идеалом в кольце, подполем в поле;
– производить вычисления в факторгруппе, факторкольце;
|
|
7
|
Пререквизиты
|
Алгебра и теория чисел (ч. 1-2)
|
|
8
|
Содержание дисциплины
|
|
Билинейные и квадратичные формы
Билинейная форма на векторном пространстве, ее матрица. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса, ранг формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы, их матрицы.
Операции над билинейными формами, пространство билинейных форм и его изоморфизм пространству квадратных матриц. Квадратичная форма и ее матрица, существование и единственность полярной билинейной формы.
Канонический вид билинейной и квадратичной формы. Алгоритм Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид вещественной и комплексной квадратичных форм.
Закон инерции вещественных квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
Евклидовы пространства
Определение евклидова пространства. Длина вектора, угол между векторами. Неравенство Коши–Буняковского.
Ортонормированные семейства векторов, ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение к подпространству.
Разложение пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
Линейные операторы евклидовых пространств
Сопряженный оператор, его существование и свойства. Инвариантные подпространства для сопряженных операторов.
Ортогональные операторы, канонический вид их матриц. Самосопряженный оператор.
|
|
Существование ортогонального преобразования, приводящего вещественную квадратичную форму к диагональному виду.
|
|
Введение в теорию групп
|
|
Определение группы, подгруппы, примеры. Гомоморфизм, изоморфизм, автоморфизм. Порядок элемента группы.
|
|
Циклические подгруппы. Циклические группы, их классификация.
|
|
Смежные классы по подгруппе, индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и следствия из нее.
|
|
Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Основная теорема о гомоморфизмах групп. Прямое произведение групп.
|
|
Введение в теорию колец и полей
|
|
Определение кольца, подкольца, поля, подполя, примеры. Гомоморфизм, изоморфизм колец, ядро гомоморфизма.
|
|
Идеалы колец. Факторкольца. Основная теорема о гомоморфизмах для колец. Прямое произведение колец.
|
|
Характеристика поля. Простые поля.
|
|
Степень расширения, конечные расширения. Мультипликативность степени. Алгебраические и трансцендентные элементы. Простые расширения полей. Алгебраически замкнутые поля, алгебраическое замыкание.
|
|
|
9
|
Рекомендуемая литература
|
|
1. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 1. Мн.: Амалфея, 2001.
|
|
2. Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Т. 2. Мн.: Амалфея, 2001.
|
|
3. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачев М.М., Феденко А.С. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Мн.: Университетское, 1999.
|
|
4. Монахов В.С., Бузланов А.В. Алгебра и теория чисел: практикум. Минск: Изд. центр БГУ, 2007.
|
|
5. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.
|
|
6. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
|
|
7. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 1. Введение в алгебру. Минск: БГПУ, 2005.
|
|
8. Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и самостоятельной работы. В 2 ч. Ч. 2. Линейная алгебра. Минск: БГПУ, 2006.
|
|
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т. 1—3. М.: Физ.—мат. литература, 2000-2001.
|
|
10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МЦНМО, 1998.
|
|
11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965 (и более поздние издания).
|
|
12. Мальцев И.М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
|
|
13. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
|
|
14. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал—пресс, 2001.
|
|
15. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1976.
|
|
|
|
Дополнительная литература
|
|
16. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
|
|
17. Ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1976.
|
|
18. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1983.
|
|
19. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.
|
|
20. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
|
|
21. Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М.: Наука, 1987.
|
|
|
10
|
Методы преподавания
|
Словесный, наглядный, проблемный, практический, диалогово-эвристический.
|
|
11
|
Язык обучения
|
Русский
|
|
12
|
Условия (требования), текущий контроль
|
— проверка индивидуальных заданий,
— коллоквиум,
— контрольная работа.
Оценка на экзамене выставляется с учетом:
40% — работа в семестре,
60% — устный ответ на экзамене.
|
|
13
|
Форма текущей аттестации
|
Экзамен, зачет
|
